Đặt: $A=$$\frac{1}{2^2}+...+$ $\frac{1}{2009^2}$
Ta thấy: $A<\frac{1}{1.2}+$ $\frac{1}{2.3}+...+$ $\frac{1}{2008.2009}$
$⇒A<1-\frac{1}{2}+$ $\frac{1}{2}-$ $\frac{1}{3}+...+$ $\frac{1}{2008}-$ $\frac{1}{2009}$
$⇒A<1-\frac{1}{2009}$
$⇒A<\frac{2008}{2009}<1$
Vậy $A<1$