Chứng minh rằng (1/a^2+2b^2+3)+(1/b^2+2c^2+3)+(1/c^2+2a^2+3)
Cho ba số duong a, b, c thỏa mãn abc = 1. CMR:
\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(a^2+b^2\geq 2ab\)
\(b^2+1\geq 2b\)
Suy ra \(a^2+2b^2+3\geq 2(ab+b+1)\) \(\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2(ab+b+1)}\)
Thực hiện toàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\text{VT}\leq \frac{1}{2}\underbrace{\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)}_{M}(1)\)
Lại có: \(M=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{ac}{ab.ac+b.ac+ac}+\frac{a}{bc.a+c.a+a}+\frac{1}{ca+a+1}\)
\(=\frac{ac}{a+1+ac}+\frac{a}{1+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}=\frac{ac+a+1}{ac+a+1}=1(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Trục căn thức ở mẫu và rút gọn 10+2 căn10/ căn5 +căn2
Bài 1: Trụch căn thức ở mẫu và rút gọn
a) \(\dfrac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)
b)
Rút gọn P=((cănx/x^2-1)+(cănx/cănx-1)-(cănx/cănx +1)).x^2-1/cănx -2 cănx^3-cănx
Thứ sáu, em thi rồi mong mọi người giúp em giải đề thi này:
Bài 1: Cho:
\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x^2-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}^3-\sqrt{x}\)
( ĐK \(x>0,x#1\) )
\(Q=x-1\)
a) Rút gọn P. Tính P khi x = 9.
b) Tính x khi \(2P-Q=0.\)
c) Tìm GTNT của \(\dfrac{P}{Q}\) .
Bài 2: Cho (P) \(y=\dfrac{x^2}{2}\) Và (d) \(y=3x+6\)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một phẳng.
b) Cho (d1) \(y=kx+k^2+2\) . Tìm k để (d), (d1) và (d2) \(y=x+2\) đồng quy.
c) Tìm điểm cố định của (d1).
Bài 3: Cho phương trình:
\(x^2-2\left(m+1\right)x+m-1=0\)
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x1,x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật sao cho bình phương nữa chu vi cộng cho diện tích bằng 5.
c) Tìm m để :
\(\left(3x_1-x_2\right)^2+\left(3x_1-x_2\right)-6=0\) ( ĐK \(\sqrt{x_1}>\sqrt{x_2}\) )
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên x,y biết: bình phương của hai số đó cộng lại bằng 5. Và 1009x - 2018y =0 thỏa mản (x2-3y)2018=1.
Bài 5: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm I ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến IA,IB với đường tròn. OI cắt AB tại H. Kẻ điểm E đối xứng với H qua O. Từ E kẻ đường thẳng cắt IA và IB lần lượt tại hai điểm M,N.
a) Tính AH theo R khi AI=3R. Và diện tích tam giác ABI.
b) Chứng minh rằng tứ giác IAOB nội tiếp. Và Tứ giác ABNM là hình thang cân.
c) Chứng minh: BI.ME=IM.HB
d) Chứng minh A,O,N nằm trên một đường thẳng. Và Tam giác AEB là tam giác cân.
So sánh 6 và căn 37
1: Chọn các câu trả lời đúng:
\(\sqrt{121=11}\) ; \(\sqrt{144=12}\) ; \(\sqrt{6400=12}\) ; \(\sqrt{0,49=-0,7}\) ; \(\sqrt{\dfrac{49}{9}}=\dfrac{7}{3}\) ; \(\sqrt{0,01=-0,1}\)
2: So sánh:
a, 6 và \(\sqrt{37}\) ; b, \(\sqrt{17}\) và 4 ; c, \(\sqrt{0,7}\) và 0,8
3. Đúng ghi Đ, sai ghi S.
a, 3< \(\sqrt{10}\)<4 ; b, 1,1 < \(\sqrt{1,56}\)<1,2
Mọi người giúp e với e cảm ơn ạ
Tìm a để đồ thị hàm số đi qua A( 2;-4/3)
Bài 1: Cho hàm số y = ax\(^2\) (d) a, Tìm a để đồ thị hàm số đi qua A( 2;\(\dfrac{-4}{3}\) ) b, Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt đồ thị hàm số trên tại B có hoành độ là -3 Bài 2: Cho y=\(\dfrac{-1}{2}\)x\(^2\) Lập phương trình đường thẳng d qua A (-2;-2) và tiếp xúc (P)
Chứng minh AD là đường kính, biết đường cao AH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác tại D
Bài 1 Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đường cao AH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác tại D
a/ Chứng minh: AD là đường kính;
b/ Tính góc ACD;
c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính của đường tròn tâm (O).
Chứng minh rằng a^4/b^3(c+2a)+b^4/c^3(a+2b)+c^4/a^3(b+2c)>=1
Cho các số dương a,b,c CMR
\(\frac{a^4}{b^3(c+2a)}+\frac{b^4}{c^3(a+2b)}+\frac{c^4}{a^3(b+2c)}\ge 1\)
@Akai Haruma
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong ( O ) , ba đường cao AD , BE , CF cắt (O) lần lượt tại M,N,K .C/m:
\(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4\)
Cho tam giác abc nhọn nội tiếp (o) (với ab
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB a) C/M tứ giác BCDE nội tiếp b) Gọi I là giao điểm của DE và CB. Chứng minh IE.ID=IB.IC c) Gọi F là giao điểm của Ah và BC. Chứng minh: Ec là tia phân giác của goc FED d) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác BCDE, gọi G là giao điểm thứ hai của È với đường tròn đó. Tam giác ABC phải có diều kiện gì để tứ giác ADGF là hình bình hành Mình cần gấp ạ! Cảm ơn mọi người!
a) C/M tứ giác BCDE nội tiếp
b) Gọi I là giao điểm của DE và CB. Chứng minh IE.ID=IB.IC
c) Gọi F là giao điểm của Ah và BC. Chứng minh: Ec là tia phân giác của goc FED
d) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác BCDE, gọi G là giao điểm thứ hai của È với đường tròn đó. Tam giác ABC phải có diều kiện gì để tứ giác ADGF là hình bình hành
Mình cần gấp ạ! Cảm ơn mọi người!
Cho biểu thức P = ( \(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}\) + \(\dfrac{8x}{4-x}\)) : ( \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}\) - \(\dfrac{2}{\sqrt{x}}\) )
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1
Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến