Chứng minh rằng căn(a^2 + b^2 . c^2) + căn(b^2 + c^2 . a^2) + căn(c^2 + a^2 . b^2) ≥ ab + bc + ca + 1cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ chứng minh rằng $\sqrt{a^2+b^2.c^2}+\sqrt{b^2+c^2.a^2}+\sqrt{c^2+a^2.b^2}\ge ab+bc+ca+1$

LongHaki

6 năm trước

Chứng minh rằng căn(a^2 + b^2 . c^2) + căn(b^2 + c^2 . a^2) + căn(c^2 + a^2 . b^2) ≥ ab + bc + ca + 1

cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$

chứng minh rằng $\sqrt{a^2+b^2.c^2}+\sqrt{b^2+c^2.a^2}+\sqrt{c^2+a^2.b^2}\ge ab+bc+ca+1$

Loga Toán lớp 9

0 lượt thích 341 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nhockenfc

Áp dụng BĐT minkowski:

$\sqrt{a^2+b^2c^2}+\sqrt{b^2+a^2c^2}+\sqrt{c^2+a^2b^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(ab+bc+ca\right)^2}=\sqrt{1+2\left(ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)^2}=ab+bc+ca+1$

(đpcm)

Dấu =xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

P/s: vâng thật ngắn gọn,súc tích , lúc không nhớ đến minkowski biến đổi cả trang giấy không ra ...

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Rút gọn và tính giá trị các biểu căn(3+căn5/2x^2) - căn(3-căn5/2x^2)

Rút gọn và tính giá trị các biểu thức :

a, $\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2x^2}}-\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}\left(x>0\right)T\text{ại}:x=1$

$b,\dfrac{\sqrt{a^3+4a^2+4a}}{\sqrt{a\left(a^2-2ab+b^2\right)}}-\dfrac{\sqrt{b^3-4b^2+4b}}{\sqrt{b\left(a^2-2ab+b^2\right)}}+ab$ ( a > b > 2 ) tại a = 4 ; b = 3

c, $ab^2.\sqrt{\dfrac{4}{a^2.b^4}}+ab\left(a;be0;a>0\right)$ Tại a = 1 ; b = - 2

d, $\dfrac{a+b}{b^2}.\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2+2ab+b^2}}\left(a;b>0\right)$ Tại a = 1 ; b = 2

Giải hệ phương trình x^2+(x+y)y+2=9y, x+y−7=y/x^2+2

giải hệ phương trình sau

$\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(x+y\right)y+2=9y\\x+y-7=\dfrac{y}{x^2+2}\end{matrix}\right.$

Tính 1+sin^2 50^0−2cos^2 40^0/cot^2 50^0.cot2400−cos^2 50^0

$\dfrac{1+\sin^250^0-2\cos^240^0}{\cot^250^0.\cot^240^0-\cos^250^0}$

Chứng minh căn(n+1)^2 + cănn^2 = (n+1)^2 – n^2

Cho x thuộc N, chứng minh: √(n+1)2 + √n2 = (n+1)2 – n2

Tìm nghiệm của phương trình biết 0 ≤ x ; y ; z ≤ 1

$\dfrac{x}{1+y+xz}+\dfrac{y}{1+z+xy}+\dfrac{z}{1+x+yz}=\dfrac{3}{x+y+z}$

Tìm nghiệm của pt biết $0\le x;y;z\le1$

Tính 1/a+3b + 1/b+3c + 1/c+3a ≥1/a+b+2c + 1/b+c+2a + 1/a+c+2b

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\ge\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{b+c+2a}+\frac{1}{a+c+2b}$

Giải bất phương trình (5x + 2)(10x +3)(x - 6) < 0

Giải BPT sau :

a) (5x + 2)(10x +3)(x - 6) < 0 b) (3-x)(x+4)(15+x) >0

c) (x+2)(x+3)(x+4)>0 d) (3x+4)(2x+2)(7-x)

Tính AH.CH, biết B = 9cm, BC = 15cm, đường cao AH

Cho Δ ABC ⊥ tại A, AB = 9cm, BC = 15cm, đường cao AH.

a) Tính AH.CH.

b) Qua B vẽ đường thẳng ⊥ BC, cắt đường thẳng AB tại D. Tia phân giác của góc C cắt AB tại N và BD tại M. Chứng minh: CN.CD = CM.CB

Tính A=xyz (căn(x^2 − 2014 )/x^2 + căn(y^2 − 2014)/ y^2 + căn(z^2 − 2014)/ z^2 )

cho x,y,z>0 thỏa mãn

$\sqrt{\left(x^2-2014\right)\left(y^2-2014\right)}+\sqrt{\left(y^2-2014\right)\left(z^2-2014\right)}+\sqrt{\left(z^2-2014\right)\left(x^2-2014\right)}=2014$

Tính A=xyz $\left(\dfrac{\sqrt{x^2-2014}}{x^2}+\dfrac{\sqrt{y^2-2014}}{y^2}+\dfrac{\sqrt{z^2-2014}}{z^2}\right)$

Nhắc Nhở !

Mình vừa xin vào Biệt Đội Ninja 247 ^^
Mình sẽ làm tròn nhiệm vụ ^^
Thế nên mấy bạn đừng spam câu hỏi hay spam like nha ^^ bị bcsp thì đừng trách mình ác
nói đến đây thôi
mấy bạn là người ý thức sẽ dừng ngay ^^