Gọi hai số lẻ bất kì là 2m + 1 và 2n +1 (m,n ∈ N)
Ta có: hiệu các bình phương hai số lẻ 2m + 1 và 2n + 1 là
$(2m + 1 )^2 - (2n+1)^2$
$= (2m)^2 + 4m + 1 - (2n)^2 - 4n - 1$
$=4m^2 + 4m - 4n^2 - 4n $
$=4(m^2 + m - n^2 - n)$
$=4[m(m+1) - n(n+1)]$
Vì m,n ∈ N nên m(m+1) và n(n+1) lần lượt là tích các số tự nhiên liên tiếp
Do đó:$\text{m(m+1) $\vdots$ 2}$
$\text{n(n +1) $\vdots$ 2}$
⇒ $\text{m(m+1) - n(n+1) $\vdots$ 2}$
Do đó: $\text{4[m(m+1) - n(n+1)] $\vdots$ 4.2}$
⇒ $\text{4[m(m+1) - n(n+1)] $\vdots$ 8}$
Hay $ (2m + 1 )^2 - (2n+1)^2 \vdots 8 $
Vậy hiệu các bình phương hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8
