Ta có:
`\qquad n^5 -5n^3+4n` `(n\in ZZ)`
`=n(n^4-5n^2+4)`
`=n(n^4-4n^2-n^2+4)`
`=n[(n^2(n^2-4)-(n^2-4)]`
`=n(n^2-1)(n^2-4)`
`=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)`
`=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)`
Vì `(n-2)(n-1)n` là tích của `3` số nguyên liên tiếp
`=>(n-2)(n-1)n\ \vdots\ 3`
`=>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\ \vdots\ 3` $(1)$
Vì `(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)` là tích của `5` số nguyên liên tiếp
`=>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\ \vdots\ 5` $(2)$
Vì `(n-2);(n-1);n;(n+1);(n+2)` là $5$ số nguyên liên tiếp nên có ít nhất `2` số chẵn
Gọi số chẵn nhỏ nhất trong $5$ số đó là `2k\ (k\in ZZ)`
`=>` Số chẵn liền sau của `2k` là `2k+2`
`=>2k.(2k+2)=2k.2(k+1)=4k.(k+1)`
Vì `k.(k+1)` là tích hai số nguyên liên tiếp
`=>k.(k+1)\ \vdots\ 2`
`=>4k.(k+1)\ \vdots\ (4.2)=8`
`=>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\ \vdots\ 8` $(3)$
Vì `ƯCLN(3;5;8)=1`
Từ `(1);(2);(3)`
`=>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\ \vdots\ (3.5.8)=120`
`=>(n^5-5n^3+4n)\vdots\ (3.5.8)=120`
Vậy `n^5-5n^3+4n` chia hết cho `120` với `n\in ZZ`
