Đáp án đúng:
Giải chi tiết:Ta có: \(F\left( n \right) = {16^n} - 15n - \,1\,\,\,\left( 1 \right)\)
+) Với \(n = 1 \Rightarrow F\left( 1 \right) = {16^1} - 15 - 1 = 0\,\,\, \vdots \,\,225\)
+) Giả sử: \(F\left( n \right) = {16^n} - 15n - 1\,\, \vdots \,\,225\) đúng với \(n\) (giả thiết quy nạp)
+) Ta đi chứng minh \(F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,225\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right) = {16^{n + 1}} - 15\left( {n + 1} \right) - 1 - \left( {{{16}^n} - 15n - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {16.16^n} - 15n - 15 - 1 - {16^n} + 15n + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {15.16^n} - 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 15\left( {{{16}^n} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,15\end{array}\)
Lại có: \({16^n} - 1\,\, \vdots \,\,15\)
\( \Rightarrow 15\left( {{{16}^n} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,225\) hay \(F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,225\)
\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) đúng với \(n = n + 1\)
Vậy \(F\left( n \right) = {16^n} - 15n - 1\) chia hết cho \(225\) với mọi số tự nhiên \(n,\,\,n \ge 1.\)
