$a=BC; b=AC;c=AB$
Áp dụng định lý sin ta có:
`a/{sinA}=b/{sinB}=2R`
`=>sinA=a/{2R}`
`\qquad sinB=b/{2R}`
Áp dụng định lý cosin ta có:
`cosA={b^2+c^2-a^2}/{2bc}`
`cosB={a^2+c^2-b^2}/{2ac}`
Theo đề bài:
`\qquad sin^3 A .cosB=sin^3 B .cosA`
`<=>{a^3}/{(2R)^3} . {a^2+c^2-b^2}/{2ac}={b^3}/{(2R)^3} . {b^2+c^2-a^2}/{2bc}`
`<=>a^2(a^2+c^2-b^2)=b^2(b^2+c^2-a^2)`
`<=>a^4+a^2c^2-a^2b^2=b^4+b^2c^2-a^2b^2`
`<=>a^4+a^2c^2-b^4-b^2c^2=0`
`<=>a^4-b^4+c^2(a^2-b^2)=0`
`<=>(a^2+b^2)(a^2-b^2)+c^2(a^2-b^2)=0`
`<=>(a^2-b^2)(a^2+b^2+c^2)=0`
`<=>a^2-b^2=0` (vì $a;b;c$ là $3$ cạnh tam giác nên `a;b;c>0=>a^2+b^2+c^2>0`)
`<=>(a-b)(a+b)=0`
`<=>a-b=0` (vì `a;b>0=>a+b>0`)
`<=>a=b`
`<=>BC=AC`
Vậy $∆ABC$ cân tại $C$ (đpcm)
