Bài làm:
a) Ta có: $n^2(n+1)+2n(n+1)=(n+1)(n^2+2n)=n(n+1)(n+2)$
Vì $n$ và $n+1$ là 2 số nguyên liên tiếp
⇒ $n(n+1)$ $\vdots$ $2$ ⇒ $n(n+1)(n+2)$ $\vdots$ $2$
⇒ $n^2(n+1)+2n(n+1)$ $\vdots$ $2$
Vì $n$ , $n+1$ và $n+2$ là 3 số nguyên liên tiếp
⇒ $n(n+1)(n+2)$ $\vdots$ $3$
⇒ $n^2(n+1)+2n(n+1)$ $\vdots$ $3$
mà $(2;3)=1$ ⇒ $n^2(n+1)+2n(n+1)$ $\vdots$ $2.3$
hay $n^2(n+1)+2n(n+1)$ $\vdots$ $6$ ( đpcm )
b) Ta có: $(2n-1)^{3}-(2n-1)=(2n-1)[(2n-1)^2-1]$
$=$ $(2n-1).(2n-1-1)(2n-1+1)$
$=$ $(2n-1).(2n-2).2n=4n(n-1)(2n-1)$
Vì $n$ và $n-1$ là 2 số nguyên liên tiếp
⇒ $n(n-1)$ $\vdots$ $2$ ⇒ $n(n-1)(2n-1)$ $\vdots$ $2$
⇒ $4n(n-1)(2n-1)$ $\vdots$ $4.2$
⇒ $4n(n-1)(2n-1)$ $\vdots$ $8$
hay $(2n-1)^{3}-(2n-1)$ $\vdots$ $8$ ( đpcm )
