$\color{red}{+)a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca}$
Ta có:
$\begin{cases}(a-b)^2\ge0\\(b-c)\ge0\\(c-a)\ge0\end{cases}$$⇔\begin{cases}a^2-2ab+b^2\ge0\\b^2-2bc+c^2\ge0\\c^2-ca+a^2\ge0\end{cases}$$⇔\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}$. Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`
`⇒a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\ge2ab+2bc+2ca`
`⇔2(a^2+b^2+c^2)\ge2(ab+bc+ca)`
`⇔a^2+b^2+c^2\geab+bc+ca.`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`
Vậy `a^2+b^2+c^2\geab+bc+ca(dpcm).`
________________________________________________________________________________________
$\color{red}{+)3(ab+bc+ca)\le(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)}$
Ta chia thành hai lần để chứng minh, là:
`1)3(ab+bc+ca)\le(a+b+c)^2`
`2)(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)`
Ghi nhớ: bất đẳng thức cho hai số: `(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)`
Ta đi chứng minh điều `1)`
`3(ab+bc+ca)\le(a+b+c)^2`
`⇔3(ab+bc+ca)\lea^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)`
`⇔a^2+b^2+c^2\ge3(ab+bc+ca)-2(ab+bc+ca)`
`⇔a^2+b^2+c^2\geab+bc+ca`
Đến đây quay về bài toán trên đã chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`
Ta đi chứng minh điều `2)`
`(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)`
`⇔a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\le3(a^2+b^2+c^2)`
`⇔3(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2)\ge2(ab+bc+ca)`
`⇔2(a^2+b^2+c^2)\ge2(ab+bc+ca)`
`⇔a^2+b^2+c^2\geab+bc+ca`
Đến đây quay về bài toán trên đã chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`
Vậy `3(ab+bc+ca)\le(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)(dpcm)`. Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`
________________________________________________________________________________________
$\color{red}{+)(ab+bc+ca)^2\ge3abc(a+b+c)}$
`⇔(ab+bc+ca)^2\ge3(abc.a +abc.b+abc.c)`
`⇔(ab+bc+ca)^2\ge3(ab.ac +ab.bc+ac.bc)`
Đặt `ab=x, bc=y,ca=z`
`⇒(x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx)`
Đến đây quay về bài toán trên đã chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`
Vậy `(ab+bc+ca)^2\ge3abc(a+b+c)(dpcm).` Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`