Cm:Nếu x,y,z >0 thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$thì $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1$

shyboi

5 năm trước

Cm:

Nếu x,y,z >0 thỏa mãn

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

thì $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1$

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 255 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Quocduong

Giải:

Ta có: x, y, z >0

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

$\left(x+y\right)\ge2\sqrt{xy}$ và $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}$

=> $\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{\frac{1}{xy}}=4$

<=> $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$ (*)

Áp dụng (*) ta có:

$\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)$ (1)

$\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$ (2)

$\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+z+y+z}=\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$ (3)

Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta có

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1$ (đpcm)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Giải phương trình :

$x^3-3x^2-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}=0$ (1)

Giải phương trình :

$x^{3000}+500x^3+1500x+1999=0$

một bình đựng đầy nước thì nặng 1340 g . Khi dung nửa nước thì nặng 720 g . hỏi lượng nước chứa đầy bình là bao nhiêu g

cho 3 số thực dương a,b,c.CMR

$\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge9\left(ab+bc+ca\right)$

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh :

ab + bc + ca <= a2 +b2 +c2<= 2(ab+bc+ca)

mot nguoi nong dan thu hoach lua , thua ruong thu nhat thu duoc 15,7 ta thoc , thua ruong thu hai thu hoach duoc gap doi thua ruong thu 1 hoi nguoi do thu hoach ca hai thua ruong duoc bao nhieu kg thoc

Cho x,y > 0 và x+y+xy = 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2+y2

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{2\frac{a}{b+c}.\frac{b}{c+a}.\frac{c}{a+b}}\ge2$

Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox,điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox tại D, đường trung trực của đoạn OB cắt Oy tại E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng mình rằng:

a) CE = OD

b) CE vuông góc với CD

c) CA = CB

d) CA song song với DE

e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng

Giair phương trình

$\begin{cases}x+\frac{yz}{y+z}=\frac{1}{2}\\y+\frac{zx}{z+x}=\frac{1}{3}\\z+\frac{xy}{x+y}=\frac{1}{4}\end{cases}$