Giải thích các bước giải:
\(\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{n}{{n + 1}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Với \(n = 1\) ta có: \(\frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{{1 + 1}}\), luôn đúng.
Với \(n = 2\) ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \frac{2}{{2 + 1}}\), luôn đúng.
Giả sử (1) đúng với \(n = k\), \(k \ge 2\), ta có:
\(\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{k}{{k + 1}}\)
Ta sẽ chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), \(k \ge 2\)
Với \(n = k + 1\), ta có:
\(\begin{array}{l}
VT = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + .... + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 1 + 1} \right)}}\\
= \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + .... + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}} \right] + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right)}}\\
= \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\
= \frac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\
= \frac{{{k^2} + 2k + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\
= \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\
= \frac{{k + 1}}{{k + 2}}
\end{array}\)
(1) đúng với \(n = k + 1\)
Vậy bài toán đã được chứng minh.
