Bài làm:
Ta có: $\frac{1}{6}$ $+$ $\frac{1}{12}$ $+$ $\frac{1}{20}$ $+$ ..... $+$ $\frac{1}{n^2+3n+2}$
$=$ $\frac{1}{2.3}$ $+$ $\frac{1}{3.4}$ $+$ $\frac{1}{4.5}$ $+$ ...... $+$ $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
$=$ $\frac{1}{2}$ $-$$\frac{1}{3}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $-$ $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $-$ $\frac{1}{5}$ $+$ ........ +$\frac{1}{n+1}$ $-$ $\frac{1}{n+2}$
$=$ $\frac{1}{2}$ $-$ $\frac{1}{n+2}$ $<$ $\frac{1}{2}$ (đpcm )