Giải thích các bước giải:
Gọi $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác$(a,b,c>0)$
$\to$Theo công thức herong ta có $S=\dfrac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}$
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$
Ta có:
$(a+b-c)(b+c-a)\le \dfrac14(a+b-c+b+c-a)^2=b^2$
$(b+c-a)(c+a-b)\le \dfrac14(b+c-a+c+a-b)^2=c^2$
$(c+a-b)(a+b-c)\le \dfrac14(c+a-b+a+b-c)^2=a^2$
Nhân vế với vế
$\to ((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b))^2\le (abc)^2$
$\to (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc$
$\to (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc(a+b+c)<1\cdot 1\cdot 1\cdot (1+1+1)=3$
$\to \dfrac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}<\dfrac{\sqrt3}{4}$
$\to S<\dfrac{\sqrt3}{4}$
$\to đpcm$
