cmr trong tam giác vuông tại a R≥\ge≥ (2\sqrt{2}2+1)r
Lời giải:
Tam giác ABCABCABC vuông tại AAA thì R=a2R=\frac{a}{2}R=2a
Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với :
a2≥(2+1)Sp⇔a(a+b+c)≥2(2+1)bc\frac{a}{2}\geq (\sqrt{2}+1)\frac{S}{p}\Leftrightarrow a(a+b+c)\geq 2(\sqrt{2}+1)bc2a≥(2+1)pS⇔a(a+b+c)≥2(2+1)bc (⋆)(\star)(⋆)
Theo hệ thức Pitago thì b2+c2=a2b^2+c^2=a^2b2+c2=a2
Suy ra (⋆)⇔b2+c2(b2+c2+b+c)≥2(2+1)bc(\star)\Leftrightarrow \sqrt{b^2+c^2}(\sqrt{b^2+c^2}+b+c)\geq 2(\sqrt{2}+1)bc(⋆)⇔b2+c2(b2+c2+b+c)≥2(2+1)bc
Điều này luôn đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM thì:
b2+c2≥2bcb^2+c^2\geq 2bcb2+c2≥2bc
Và b2+c2(b+c)≥(b+c)22≥4bc2=22bc\sqrt{b^2+c^2}(b+c)\geq \frac{(b+c)^2}{\sqrt{2}}\geq \frac{4bc}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}bcb2+c2(b+c)≥2(b+c)2≥24bc=22bc
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi b=cb=cb=c tức là tam giác ABCABCABC vuông cân tại AAA
cho a, b, c là 3 số thực dương. cmr a2b2c+b2c2a+c2a2b≥1a+1b+1c\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}b2ca2+c2ab2+a2bc2≥a1+b1+c1
chứng minh rằng 2a^3+8a<=a^4+16
Tìm các số nguyên x,y biết xy +x-y-1=1
Mấy bn , a cj và các thầy (cô) giúp với !!
chứng minh rằng (a+b)/(căn(a*(3a+b))+căn(b*(3b+a)) >= 1/2
cho 2 số thực dương a,b CM
ab+a/b+b/a> a+b+1
Các bạn giải giúp mình với. Tks nhìu lun.
Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 3.
Chứng minh: aa+2bc+bb+2ca+cc+2ab≥1\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ca}+\frac{c}{c+2ab}\ge1a+2bca+b+2cab+c+2abc≥1
show that xy/x+y + yz/y+z + zx/z+x ≥\ge≥ x+y+z/2
với x,y,z là 3 số dương
Cho a,b,c>=-1/4 và a+b+c=1 cmr căn4a+1 + căn4b+1 +căn4c+1 =< căn21
Cho a+b=1.Chứng minh rằng:(1+1/a)(1+1/b)>=9
Cho các số thực dương a, b, c thỏa: 1c+1b=34−1a\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{a}c1+b1=43−a1. Tìm min:
A=b2+bc+c2a2+a2+ab+b2c2+c2+ca+a2b2A=\dfrac{\sqrt{b^2+bc+c^2}}{a^2}+\dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{c^2}+\dfrac{\sqrt{c^2+ca+a^2}}{b^2}A=a2b2+bc+c2+c2a2+ab+b2+b2c2+ca+a2.
