Cho a+b=1.Chứng minh rằng:(1+1/a)(1+1/b)>=9
Ta CM : \(\dfrac{1}{xy}\)\(\geq\) \(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\) \(\Leftrightarrow\) (x+y)2 \(\geq\) 4xy \(\Leftrightarrow\) x2+2xy+y2\(\geq\) 4xy
\(\Leftrightarrow\) x2+2xy+y2-4xy \(\geq \) 0 \(\Leftrightarrow\) x2-2xy+y2 \(\geq\) 0 \(\Leftrightarrow\) (x-y)2 \(\geq\) 0 (luôn đúng)
Dấu '=' khi và chỉ khi x=y
Ta có: (1+\(\dfrac{1}{a}\))(1+\(\dfrac{1}{b}\)) = 1+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{ab}\) = 1+ \(\dfrac{a+b}{ab}\)+\(\dfrac{1}{ab}\)=1+\(\dfrac{1}{ab}\)+\(\dfrac{1}{ab}\)
= 1+ 2.\(\dfrac{1}{ab}\)
Áp dụng BĐT vừa chứng minh trên ta được:
1+2.\(\dfrac{1}{ab}\)\(\geq\) 1+2.\(\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\)=1+2.4=1+8=9
Từ đó suy ra (1+\(\dfrac{1}{a}\))(1+\(\dfrac{1}{b}\)) \(\geq\) 9
Dấu'=' xảy ra khi và chỉ khi a=b=0,5
Cho các số thực dương a, b, c thỏa: \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{a}\). Tìm min:
\(A=\dfrac{\sqrt{b^2+bc+c^2}}{a^2}+\dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{c^2}+\dfrac{\sqrt{c^2+ca+a^2}}{b^2}\).
Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)=64\end{matrix}\right.\)
với x, y, z là các số thực dương.
Bài 14 (SBT trang 106)
Cho x, y, z là những số thực tùy ý.
Chứng minh rằng :
\(\left|x-z\right|\le\left|x-y\right|+\left|y-z\right|,\forall x,y,z\)
Bài 13 (SBT trang 106)
Cho x, y, z là những số thực tùy ý. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó :
\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\)
Bài 12 (SBT trang 106)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=4x^3-x^4\) với \(0\le x\le4\)
Bài 11 (SBT trang 106)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
\(y=\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{1-x}\) với \(0< x< 1\)
Bài 10 (SBT trang 106)
Cho a, b, c, d là những số dương.
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)
Bài 9 (SBT trang 106)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge2\sqrt{2\left(a+b\right)\sqrt{ab}}\)
Bài 8 (SBT trang 106)
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Bài 7 (SBT trang 106)
\(a^2b+\dfrac{1}{b}\ge2a\)
Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến
