Ta chứng minh số chính phương $a^2$ bất kỳ chia $4$ dư $0$ hoặc $1$ `(a\in ZZ)`
+) Nếu $a$ là số chẵn
`=>a=2k\ (k\in ZZ)`
`=>a^2=(2k)^2=4k^2\ \vdots \ 4`
$\\$
+) Nếu $a$ là số lẻ
`=>a=2k+1\ (k\in ZZ)`
`=>a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1` chia $4$ dư $1$
$\\$
`=>a^2` chia $4$ dư $0$ hoặc $1$ với mọi số nguyên `a` bất kỳ
`=>x^2;y^2` chia $4$ dư $0$ hoặc $1$ với mọi số nguyên `x;y` bất kỳ
$\\$
+) Nếu $x^2;y^2$ đều chia $4$ dư $0$
`=>(x^2-y^2)\ \vdots\ 4`
$\\$
+) Nếu $x^2;y^2$ đều chia $4$ dư $1$
`=>x=4m+1;y=4n+1\ (m;n\in ZZ)`
`=>(x^2-y^2)=(4m+1)-(4n+1)`
`=4(m-n)\ \vdots\ 4`
$\\$
+) Nếu $x^2$ chia $4$ dư $1$ và $y^2$ chia $4$ dư $0$
`=>x^2=4m+1; y^2=4n\ (m;n\in ZZ)`
`=>x^2-y^2=4m+1-4n=4(m-n)+1` chia $4$ dư $1$
$\\$
+) Nếu $x^2$ chia $4$ dư $0$ và $y^2$ chia $4$ dư $1$
`=>x^2=4m;y^2=4n+1\ (m;n\in ZZ)`
`=>x^2-y^2=4m-(4n+1)`
`=4(m-n)-4+3` chia $4$ dư $3$
$\\$
Vậy `x^2-y^2` chia $4$ dư $0;1;3$ với mọi `x;y` nguyên
