Đáp án:
Tổng chiều dài dây dẫy tới hai nhà máy ngắn nhất khi tam giác $DAB$ vuông cân tại $D$.
Giải thích các bước giải:
Đặt tên hai trạm linh kiện là $A$ và $B$. Như hình vẽ bên.
Vậy tổng chiều dài dây dẫn là $DA + DB$.
Khi đó, áp dụng Định lý Pytago ta có
$ DA^2 = DH^2 + HA^2$
và
$DB^2 = DH^2 + HB^2$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$DH^2 + HA^2 \geq 2DH.HA$
và
$DH^2 +HB^2 \geq 2DH.HB$
Suy ra
$\sqrt{DH^2 + HA^2} + \sqrt{DH^2 + HB^2} \geq \sqrt{2DH.HA} + \sqrt{2DH . HB} \geq \sqrt{2.DH^2 .HA.HB}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $DH = HA = HB$.
Do tam giác DAB có độ dài đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện nên nó vuông tại $D$.
Lại có $DA = DB$. Do đó tam giác $DAB$ vuông cân tại $D$.
Vậy tổng chiều dài dây dẫy tới hai nhà máy ngắn nhất khi tam giác $DAB$ vuông cân tại $D$.
