Bài 1:
+ Nếu \(\alpha \) là một góc nhọn bất kỳ thì
\(0 < \sin \alpha < 1;0 < \cos \alpha < 1\), \(\tan \alpha > 0;\cot \alpha > 0\) , \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) ; \(\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }},\tan \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
Bài 2:
-Vì $20^\circ < 70^\circ \Leftrightarrow \sin 20^\circ < \sin 70^\circ $.
- Vì \(46^\circ < 50^\circ \Leftrightarrow \cot 46^\circ > \cot 50^\circ \).
Bài 3:
-Ta có
\(\cos 67^\circ = \sin 23^\circ \,\) vì \(67^\circ + 23^\circ = 90^\circ \); \(\cos 44^\circ 35' = \sin 45^\circ 25'\)
vì \(44^\circ 35' + 45^\circ 25' = 90^\circ \)
Mà
\(23^\circ < 28^\circ 10' < 35^\circ < 40^\circ < 45^\circ 25'\) nên \(\sin 23^\circ < \sin 28^\circ 10' < \sin 35^\circ < \sin 40^\circ < \sin 45^\circ 25'\)
\( \Leftrightarrow \cos 67^\circ < \sin 28^\circ 10' < \sin 35^\circ < \sin 40^\circ < \cos 44^\circ 35'\)
-Ta có
$\cot 71^\circ = \tan 19^\circ \,$ vì $71^\circ + 19^\circ = 90^\circ $; $\cot 69^\circ 15' = \tan 20^\circ 45'$ vì $69^\circ 15' + 20^\circ 45' = 90^\circ $
Mà
$ 19^\circ <20^\circ 45' < 28^\circ < 38^\circ < 43^\circ $
nên
$ \tan 19^\circ < \tan 20^\circ 45' <\tan 28^\circ < \tan 38^\circ < \tan 43^\circ $
$ \Leftrightarrow \cot 71^\circ <\cot 69^\circ 15' < \tan 28^\circ < \tan 38^\circ < \tan 43^\circ $
Bài 4:
-Ta có ${\sin ^2}89^\circ = {\cos ^2}1^\circ ;{\sin ^2}88^\circ = {\cos ^2}2^\circ ;...;{\sin ^2}46^\circ = {\cos ^2}44^\circ $ và ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
Nên
$A = \left( {{{\sin }^2}1^\circ + {{\sin }^2}89^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}2^\circ + {{\sin }^2}88^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}44^\circ + {{\sin }^2}46^\circ } \right) + {\sin ^2}45^\circ + {\sin ^2}90^\circ $
$ = \left( {{{\sin }^2}1^\circ + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}2^\circ + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}44^\circ + {{\cos }^2}44^\circ } \right) + {\sin ^2}45^\circ + {\sin ^2}90^\circ $
$ = \underbrace {1 + 1 + ... + 1}_{44\,\,so\,1} + \dfrac{1}{2} + 1$$ = 44.1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{{91}}{2}$.
Vậy $A = \dfrac{{91}}{2}.$
- \(\begin{array}{l}P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\\ = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\sin ^2}{40^0} + {\sin ^2}{20^0}\\ = \left( {{{\cos }^2}{{20}^0} + {{\sin }^2}{{20}^0}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{40}^0} + {{\sin }^2}{{40}^0}} \right)\\ = 1 + 1 = 2.\end{array}\)
