Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
Sử dụng tính đơn điệu của các hàm số: hàm logarit, hàm bậc nhất trên bậc nhất để đánh giá.
Giải chi tiết:Xét \(\left( {xy + 2x + 4y + 8} \right){\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) \le \left( {2x + 3y - xy - 6} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right)\) (*) , với \(x,y\) nguyên và \(1 \le x,y \le 2020\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2y}}{{y + 2}} > 0\\\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\)
Nhận xét: (*) \( \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {y + 2} \right){\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) \le \left( {2 - y} \right)\left( {x - 3} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right)\)
+) Với \(y = 1 \Rightarrow \)\(3\left( {x + 4} \right){\log _3}\dfrac{2}{3} \le \left( {x - 3} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right)\)
\(VT = 3\left( {x + 4} \right){\log _3}\dfrac{2}{3} < 0,\forall x > 3\), \(VP = \left( {x - 3} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right) > 0\)\(,\,\forall x > 3\)
(do \(x - 3 > 0,\,\)\({\log _2}\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}} > {\log _2}2 = 1 > 0\) (hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) nghịch biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 2\)))
\( \Rightarrow \) BPT (*) luôn đúng với mọi \(y = 1,\,\,x > 3\)\( \Rightarrow x \in \left\{ {4;5;6;...;2020} \right\},\,y = 1\)
Khi đó, có \(2017\) bộ \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
+) Với \(y = 2 \Rightarrow \)\(4\left( {x + 4} \right){\log _3}1 \le 0\left( {x - 3} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right)\): luôn đúng,\(\forall x > 3 \Rightarrow x \in \left\{ {4;5;6;...;2020} \right\}\)
Khi đó, có \(2017\) bộ \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
+) Với \(y > 2\):
\(VT = \left( {x + 4} \right)\left( {y + 2} \right){\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) > 0,\,\forall x > 3\)
(do \(y + 2 > 4 > 0,\,\,{\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) > {\log _3}\dfrac{{2.2}}{{2 + 2}} = 0\,\) (hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{x + 2}}\) đồng biến trên\(\left( {2; + \infty } \right)\)))
\(VP = \left( {2 - y} \right)\left( {x - 3} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right) < 0\)\(,\,\forall x > 3\)
(do \(2 - y < 0,\,x - 3 > 0,\,\,\,{\log _2}\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}} > {\log _2}2 = 1 > 0\) (hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 2\)))
\( \Rightarrow \) BPT (*) vô nghiệm.
Vậy, có tất cả số bộ \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn là: \(2017 + 2017 = 4034\) bộ.
Chọn B.
