Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-\left( 1-m \right)x+2m}}\) có hai tiệm cận đứng? A.3 B.0 C.2 D.1
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:ĐK: \(x\ge -1\) và \({{x}^{2}}-\left( 1-m \right)x+2m>0\) Xét phương trình \(1+\sqrt{x+1}=0\) vô nghiệm. Xét phương trình \({{x}^{2}}-\left( 1-m \right)x+2m=0\,\,\left( * \right)\). Để đồ thị hàm số có hai TCĐ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK \(x\ge -1\). \(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 1-m \right)}^{2}}-8m>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}m>5+2\sqrt{6} \\m<5-2\sqrt{6} \\\end{align} \right.\) Khi đó gọi hai nghiệm của phương trình là \({{x}_{1}}>{{x}_{2}}\) ta có: \({x_1} > {x_2} \ge - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}af\left( { - 1} \right) \ge 0\\\frac{S}{2} > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ge 0\\2 - m > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 2\\m < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m < 4\) Kết hợp điều kiện ta có: \(m\in \left[ -2;5-2\sqrt{6} \right)\overset{m\in Z}{\mathop{\Rightarrow }}\,m\in \left\{ -2;-1;0 \right\}\) Thử lại: Với \(m=-2\Rightarrow {{x}^{2}}-3x-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}x>4 \\x<-1 \\\end{align} \right.\Rightarrow TXD:\,\,\,D=\left( 4;+\infty \right)\) Khi đó hàm số có dạng \(y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x-4}}\) có 1 tiệm cận đứng \(x=4\Rightarrow \) Loại. Với \(m=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}x>1+\sqrt{3} \\x<1-\sqrt{3} \\\end{align} \right.\Rightarrow TXD:\,\,\,D=\left[ -1;1-\sqrt{3} \right)\cup \left( 1+\sqrt{3};+\infty \right)\) Khi đó hàm số có dạng \(y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x-2}}\) có 2 tiệm cận đứng \(x=1\pm \sqrt{3}\Rightarrow \) TM. Khi \(m=0\Rightarrow {{x}^{2}}-x>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}x>1 \\x<0 \\\end{align} \right.\Rightarrow TXD:\,\,D=\left[ -1;1 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)\) Khi đó hàm số có dạng \(y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-x}}\) có 2 tiệm cận đứng \(x=0;x=1\Rightarrow \) TM. Vậy \(m\in \left\{ -1;0 \right\}\). Chọn C.
