Có bao nhiêu số nguyên của \(m\) để phương trình \({\log _2}\left( {2x + m} \right) - 2{\log _2}x = {x^2} - 4x - 2m - 1\) có hai nghiệm thực phân biệt. A.\(2\) B.\(3\) C.\(1\) D.\(4\)
Phương pháp giải: - Xét hàm đặc trưng. - Suy ra phương trình ẩn \(x\), cô lập \(m\), lập BBT và biện luận nghiệm. Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > \frac{{ - m}}{2}\end{array} \right.\). Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {2x + m} \right) - 2{\log _2}x = {x^2} - 4x - 2m - 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x + m} \right) - {\log _2}{x^2} = {x^2} - 2\left( {2x + m} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x + m} \right) + 1 + 2\left( {2x + m} \right) = {\log _2}{x^2} + {x^2}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {2\left( {2x + m} \right)} \right] + 2\left( {2x + m} \right) = {\log _2}{x^2} + {x^2}\end{array}\) Đặt \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) với \(t > 0\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Mà ta lại có \(f\left( {2\left( {2x + m} \right)} \right) = f\left( {{x^2}} \right)\), do đó \(2\left( {2x + m} \right) = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 2m\,\,\left( * \right)\). Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 4x\) với \(x > 0\) ta có: \(g'\left( x \right) = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\). BBT:
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow - 4 < 2m < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 0\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = - 1\). Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.