Đáp án:
$-\dfrac{17}{16} < m < -\dfrac{1}{2}$
Giải thích các bước giải:
$\cos2x + \sin x + 2m +1 = 0$
$\Leftrightarrow 1 - 2\sin^2x + \sin x + 2m + 1= 0$
$\Leftrightarrow 2\sin^2x -\sin x - 2m - 2 = 0$
Đặt $t = \sin x, \, |t| \leq 1$
Với $x \in \left[-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]$
$\Rightarrow \sin x \in \left[-\dfrac{1}{2};1\right]$
$\Rightarrow t \in \left[-\dfrac{1}{2};1\right]$
Phương trình trở thành:
$2t^2 - t - 2m - 2 = 0$ $(*)$
Phương trình có 3 nghiệm thuộc $\left[-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]$
$\Leftrightarrow (*)$ có 3 nghiệm thuộc $\left[-\dfrac{1}{2};1\right]$
$(*) \Leftrightarrow 2t^2 - t = 2m + 2$
Xét $f(t) = 2t^2 - t, \,t \in \left[-\dfrac{1}{2};1\right]$
$\Rightarrow f'(t) = 4t - 1$
$f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{4}$
Xét bảng biến thiên của $f(t)$ trong đoạn $\left[-\dfrac{1}{2};1\right]$
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
t & -\infty & -\dfrac{1}{2} & && & \dfrac{1}{4} & && & 1 & +\infty\\
\hline
f'(t) & & |& &- & & 0 & &+ & &| &\\
\hline
&&1&&&&&&&&1\\
f(t) & &&&\searrow& & & &\nearrow\\
&&&&&&-\dfrac{1}{8}\\
\hline
\end{array}$
Ta được:
Hàm số có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow f(t)$ và đường thẳng $2m + 2$ có 3 điểm chung
Do đó $- \dfrac{1}{8} < 2m + 2 < 1$
$\Leftrightarrow -\dfrac{17}{16} < m < -\dfrac{1}{2}$
