a) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {DAC} = \widehat {DAB} + {90^0} = {60^0} + {90^0} = {150^0}\\\widehat {BAE} = \widehat {EAC} + {90^0} = {60^0} + {90^0} = {150^0}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {BAE}.\]
Xét \(\Delta \) DAC và \(\Delta \) BAE có:
DA = BA (GT)
\(\widehat {DAC} = \widehat {BAE}\) (CM trên)
AC = AE (GT)
\( \Rightarrow \) \(\Delta \) DAC = \(\Delta \) BAE (c – g – c) \( \Rightarrow \) BE = CD (Hai cạnh tương ứng).
b) Ta có: \(\widehat {DAE} + \widehat {DAB} + \widehat {BAC} + \widehat {EAC} = {360^0}\)
\( \Leftrightarrow \) \(\widehat {DAE} + {60^0} + {90^0} + {60^0} = {360^0}\)
\( \Leftrightarrow \) \(\widehat {DAE} = {150^0}\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {DAE}\)= \(\widehat {DAC}\) = 1500
Xét \(\Delta \) DAE và \(\Delta \) BAE có:
DA = BA (GT)
\({\widehat A_3}\)= \(\widehat {DAC}\) (CM trên)
AE: Cạnh chung
\( \Rightarrow \) \(\Delta \) DAE = \(\Delta \) BAE (c – g – c) \( \Rightarrow \) DE = BE (Hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \) \(\Delta \) BDE là tam giác cân tại E.
c) Ta có: \(\Delta \) DAC = \(\Delta \) BAE (CM câu a) \( \Rightarrow \) \(\widehat {AEI}\) = \(\widehat {ACI}\) (Hai góc tương ứng)
Lại có: \(\widehat {CIE} + \widehat {CEI} + \widehat {ICE} = {180^0}\) (Tổng 3 góc trong \(\Delta \) ICE)
\( \Leftrightarrow \) \(\widehat {CIE} + (\widehat {AEC} - \widehat {AEI}) + (\widehat {ACI} + \widehat {ACE}) = {180^0}\)
\( \Leftrightarrow \) \(\widehat {CIE} + {60^0} - \widehat {AEI} + \widehat {ACI} + {60^0} = {180^0}\)
\( \Leftrightarrow \) \(\widehat {CIE} + {120^0} = {180^0}\)(Vì \(\widehat {AEI}\) = \(\widehat {ACI}\))\( \Rightarrow \)
\( \Leftrightarrow \) \(\widehat {CIE} = {60^0}\)
Vì \(\Delta \) DAE = \(\Delta \) BAE (Cm câu b) \(\widehat {AEI}\) = \(\widehat {AED}\) (Hai góc tương ứng) \( \Rightarrow \) EA là tia phân giác của \(\widehat {DEI}\) (1).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta DAC{\rm{ }} = \Delta BAE\\\Delta DAE{\rm{ }} = \Delta BAE\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\Delta \) DAC = \(\Delta \) DAE \( \Rightarrow \) \(\widehat {ADC}\) = \(\widehat {ADE}\) (Hai góc tương ứng) \( \Rightarrow \) DA là tia phân giác của \(\widehat {EDC}\) (2).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) A là giao điểm của 2 tia phân giác trong \(\Delta \) DIE \( \Rightarrow \) IA là đường phân giác thứ ba trong \(\Delta \) DIE hay IA là tia phân giác của \(\widehat {DIE}.\)