Đáp án:
`a,`
Xét `ΔACE` và `ΔAKE` có :
`hat{ACE} = hat{AKE} = 90^o`
`AE` chung
`hat{CAE} = hat{KAE}` (giả thiết)
`-> ΔACE = ΔAKE` (cạnh huyền - góc nhọn)
`-> AC = AK` (2 cạnh tương ứng)
`-> A` nằm trên đường trung trực của `CK` `(1)`
Do `ΔACE = ΔAKE` (chứng minh trên)
`-> CE = KE` (2 cạnh tương ứng)
`-> E` nằm trên đường trung trực của `CK` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> AE` là đường trung trực của `CK`
`-> AE⊥CK`
$\\$
$\\$
$b,$
Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :
`hat{A} + hat{B} + hat{C} = 180^o`
`-> hat{B} = 180^o - 90^o - 60^o`
`-> hat{B} = 30^o`
Do `AE` là tia phân giác của `hat{A}`
`-> hat{EAB} = 1/2 hat{A} = 1/2 . 60^o`
`-> hat{EAB} = 30^o`
Có : `hat{B} = 30^o ,hat{EAB} = 30^o`
`-> hat{B} = hat{EAB} = 30^o`
`-> ΔBAE` cân tại `E`
Xét `ΔBEK` và `ΔAEK` có :
`hat{EKB} = hat{EKA} = 90^o`
`EK` chung
`EB = EA` (Do `ΔBAE` cân tại `E`)
`-> ΔBEK = ΔAEK` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> KA = KB` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
$c,$
Xét `ΔECA` có :
`hat{ECA} = 90^o`
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`AE` là cạnh lớn nhất
`-> AE > AC`
mà `EB = AE` (Do `ΔBAE` cân tại `E`)
`-> EB > AC`
$\\$
$\\$
$d,$
Gọi `O` là giao của `BD` và `AC` `(3)`
Có : `BC⊥AO`
`-> CB` là đường cao của `ΔOAB`
Có : `AD⊥BO`
`->AD` là đường cao của `ΔOAB`
Có : `OK⊥AB`
`-> OK` là đường cao của `ΔOAB`
Xét `ΔOAB` có :
`AD` là đường cao
`BC` là đường cao
`AD` cắt `BC` tại `E`
`-> E` là trực tâm của `ΔOAB`
mà `OK` là đường cao của `ΔOAB`
`-> EK` đi qua `O` `(4)`
Từ `(3), (4)`
`-> AC,BD,KE` đồng quy tại `O`
