Đặt \( \ln 2=a,{{ \log }_{5}}4=b. \) Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A.\(\ln 100=\frac{ab+2a}{b}.\) B.\(\ln 100=\frac{4ab+2a}{b}.\) C.\(\ln 100=\frac{ab+a}{b}.\) D.\(\ln 100=\frac{2ab+4a}{b}.\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Ta có \(\ln 100=\ln \left( {{2}^{2}}{{.5}^{2}} \right)=\ln \left( {{2}^{2}} \right)+\ln \left( {{5}^{2}} \right)=2\ln 2+2\ln 5=2a+2{{\log }_{e}}5\,\,\left( 1 \right).\) Lại có \({{\log }_{e}}5={{\log }_{e}}2.{{\log }_{2}}5=\frac{\ln 2}{{{\log }_{5}}2}=\frac{2\ln 2}{2{{\log }_{5}}2}=\frac{2\ln 2}{{{\log }_{5}}4}=\frac{2a}{b}\,\,\left( 2 \right).\) Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(\ln 100=2a+2.\frac{2a}{b}=\frac{2ab+4a}{b}.\) Chọn đáp án D.