Xét $∆ECD$ có `EO=R=1/ 2 CD`
`=>∆ECD` vuông tại $E$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)
`=>DE`$\perp MC$ tại $E$
Xét $∆KCD$ có `KO=R=1/ 2 CD`
`=>∆KCD` vuông tại $K$
`=>CK`$\perp MD$ tại $K$
$\\$
Xét $∆MCD$ có:
$\quad DE\perp MC$
$\quad CK\perp MD$
$\quad DE$ cắt $CK$ tại $H$
`=>H` là trực tâm $∆MCD$
`=>MH`$\perp CD$
Mà $AB\perp CD$
`=>H\in MA`
$\\$
Xét $∆EMH$ vuông tại $E$ có $EI$ là trung tuyến
`=>EI=MI=1/2MH`
`=>∆EMI` cân tại $I$
`=>\hat{IME}=\hat{IEM}` $(1)$
Ta có:
`\qquad \hat{IME}=\hat{EDO}` (cùng phụ `\hat{ECD}`) $(2)$
Mà `OE=OD=R`
`=>∆ODE` cân tại $O$
`=>\hat{EDO}=\hat{DEO}` $(3)$
Từ `(1);(2);(3)=>\hat{IEM}=\hat{DEO}`
$\\$
`\qquad \hat{IEM}+\hat{IED}=\hat{MED}=90°`
`=>\hat{DEO}+\hat{IED}=90°`
`=>\hat{IEO}=90°`
`=>IE`$\perp OE$
`=>IE` là tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$ $(4)$
$\\$
$∆MKH$ vuông tại $K$ có $KI$ là trung tuyến
`=>KI=MI=1/ 2 MH`
`=>∆IMK` cân tại $I$
`=>\hat{IMK}=\hat{IKM}` $(5)$
Ta có:
`\hat{IMK}=\hat{KCO}` (cùng phụ`\hat{KDC}`) $(6)$
Mà `OK=OC=R`
`=>∆OCK` cân tại $O$
`=>\hat{KCO}=\hat{CKO}` $(7)$
Từ `(5);(6);(7)=>\hat{IKM}=\hat{CKO}`
$\\$
`\qquad \hat{IKM}+\hat{IKC}=\hat{MKC}=90°`
`=>\hat{CKO}+\hat{IKC}=90°`
`=>\hat{IKO}=90°`
`=>IK`$\perp OK$
`=>IK` là tiếp tuyến tại $K$ của $(O)$ $(8)$
Từ `(4);(8)=>IE;IK` là tiếp tuyến của `(O)` (đpcm)
