Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right),\,\,B\left( { - 2; - 1;5} \right)\) và \(C\left( {3;2; - 1} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua A, trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tìm phương trình mặt phẳng (P).
A.\(5x + 3y + 4z - 22 = 0\)
B.\(5x + 3y + 4z - 4 = 0\)
C.\(5x + 3y - 6z + 16 = 0\)
D.\(5x + 3y - 6z - 8 = 0\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(M\left( {m;0;0} \right),\,\,N\left( {0;n;0} \right)\) và \(P\left( {0;0;p} \right)\) với \(m,n,p\) là các số dương thay đổi thỏa mãn \(\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{p} = 3\). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) luôn đi qua ba điểm:
A.\(H\left( { - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\)
B.\(G\left( {1;1;1} \right)\)
C.\(F\left( {3;3;3} \right)\)
D.\(E\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right)\) và chứa trục Oz. Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Tính \(M = \dfrac{{b + c}}{a}\).
A.\(M =  - \dfrac{1}{3}\)
B.\(M = 3\)
C.\(M = \dfrac{1}{3}\)
D.\(M =  - 3\)

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\) và hai đường thẳng \(y = 2,\,\,y = - x + 1\) (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình phẳng (H).
A.\(S = 8 + 3\ln 3\)
B.\(S = 8 - 3\ln 3\)
C.\(S = 3\ln 3\)
D.\(S =  - 4 + 3\ln 3\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình \(3x - 6y - 4z + 36 = 0\). Gọi \(A,B,C\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(O.ABC\).
A.\(V = 216\)
B.\(V = 108\)
C.\(V = 117\)
D.\(V = 234\)

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = \sqrt x \). Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh quanh trục Ox.
A.\(V = \dfrac{{9\pi }}{{70}}\)
B.\(V = \dfrac{3}{{10}}\)
C.\(V = \dfrac{9}{{70}}\)
D.\(V = \dfrac{{3\pi }}{{10}}\)

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = mx\) với \(m \ne 0\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương m để diện tích hình phẳng (H) là số nhỏ hơn 20?
A.4
B.6
C.3
D.5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow m = \left( {4;3;1} \right),\,\,\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\). Gọi \(\overrightarrow p \) là vectơ cùng hướng với vectơ \(\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\) (tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow m \) và \(\overrightarrow n \)). Biết \(\left| {\overrightarrow p } \right| = 15\), tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow p \).
A.\(\overrightarrow p  = \left( {9; - 12;0} \right)\)
B.\(\overrightarrow p  = \left( {45; - 60;0} \right)\)
C.\(\overrightarrow p  = \left( {0;9; - 12} \right)\)
D.\(\overrightarrow p  = \left( {0;45; - 60} \right)\)

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x \cos \dfrac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \dfrac{\pi }{2},\,\,x = \pi \). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng \(\left( H \right)\) quay xung quanh trục Ox.
A.\(V = \dfrac{\pi }{6}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi  - 8} \right)\)
B.\(V = \dfrac{\pi }{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi  - 8} \right)\)
C.\(V = \dfrac{\pi }{8}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi  - 8} \right)\)
D.\(V = \dfrac{1}{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi  - 8} \right)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;6; - 7} \right)\) và \(B\left( {3;2;1} \right)\). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:
A.\(x - 2y + 4z + 2 = 0\)
B.\(x - 2y - 3z - 1 = 0\)
C.\(x - 2y + 3z + 17 = 0\)
D.\(x - 2y + 4z + 18 = 0\)