Đáp án: $A$
Giải thích các bước giải:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$
Do $(SBC)⊥(ABC) ⇒ H∈BC$
Vẽ $AI⊥BC ⇒ I$ là trung điểm $BC$ (vì $ΔABC$ cân tại $A$)
Lấy $K∈BC$ đối xứng với $H$ qua $I$
Đặt $: AH = BH = x$( do $SA = SB) ; BK = CH = y$ ta có:
$SB² - BH² = SH² = SC² - CH² $
$ ⇔ BH² - CH² = SB² - SC² $
$ ⇔ x² - y² = a² - \dfrac{2a²}{3} ⇔ 3x² - 3y² = a² (1)$
Mặt khác gọi $J$ là trung điểm $AB ⇒ HJ⊥AB$
Đặt $∠AHJ = ∝⇒ ∠AHB = 2∝$ ta có:
$sin∝ = \dfrac{AJ}{AH} = \dfrac{a}{2x}$
$cos2∝ = cos(∠AHB) = cos(∠AHI) = \dfrac{IH}{AH}$
$ = \dfrac{KH}{2AH} = \dfrac{BH - BK}{2AH} = \dfrac{x - y}{2x} $
Từ Công thức lượng giác$ : 1 - cos2∝ = 2sin²∝$ suy ra:
$ 1 - \dfrac{x - y}{2x} = 2.\dfrac{a²}{4x²} ⇔ x² + xy = a² (2)$
$(1) - (2) : 2x² - xy - 3y² = 0 ⇔ (x + y)(2x - 3y) = 0$
$ ⇒ 2x - 3y = 0$ thay vào $(1); (2)$ giải ra:
$ AH = BH = x = \dfrac{3a}{\sqrt{15}} ; CH = y = \dfrac{2a}{\sqrt{15}}$
$ ⇒ BI = \dfrac{x + y}{2} = \dfrac{5a}{2\sqrt{15}} $
$ ⇒ AI = \sqrt{AB² - BI²}= \sqrt{a² - \dfrac{5a²}{12}}= \dfrac{a\sqrt{35}}{2\sqrt{15}}$
$ ⇒ S_{ABC} = AI.BI = \dfrac{a²\sqrt{35}}{12}$
$ SH = \sqrt{SB² - BH²} = \sqrt{a² - \dfrac{3a²}{5}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$
$ ⇒ V_(S.ABC) = \dfrac{1}{3}SH.S_{ABC} $
$ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.\dfrac{a²\sqrt{35}}{12} = \dfrac{a³\sqrt{14}}{36}$
