Đáp án:
$3^{2022} + 5$ chia $24$ dư $14$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$3^{2022} = (3^2)^{1011} = 9^{1011}$
Với mọi $n \in \Bbb N^*$ ta có: $9^n \equiv 9 \pmod{24}$
Do đó:
$9^{1001}\equiv 9 \pmod{24}$
$\to 9^{1001} + 5 \equiv 14 \pmod{24}$
$\to 3^{2022} + 5 \equiv 14 \pmod{24}$
Vậy $3^{2022} + 5$ chia $24$ dư $14$
_______________________________________________________________
Chứng minh: $9^n \equiv 9 \pmod{24}\quad \forall n \in \Bbb N^*$
Ta có:
$9^n-9=9(9^{n-1}-1)=9(9-1)(9^{n-2}+9^{n-3}+\dots+9+1)$
$\to 9^n - 9 \equiv 0 \pmod{72}$
$\to 9^n - 9 \equiv 0 \pmod{24}$
$\to 9^n \equiv 9 \pmod{24}$
