Cách 1:
+) `TH1: AB>AD`
Qua $D$ vẽ đường thẳng vuông góc $Az$ tại $E$ và cắt $Ax$ tại $F$
Xét $∆ADF$ có $AE$ vừa là đường cao và đường phân giác
`=>∆ADF` cân tại $A$
`=>AD=AF`
$\\$
Xét $∆ACD$ và $∆ACF$ có:
`\qquad AC` là cạnh chung
`\qquad \hat{CAF}=\hat{CAD}` (do $Az$ là phân giác của `\hat{xAy}`)
`\qquad AD=AF` (c/m trên)
`=>∆ACD=∆ACF` (c-g-c)
`=>CD=CF` (hai cạnh tương ứng)
`\qquad \hat{ACF}=\hat{ACD}` (hai góc tương ứng)
$\\$
`\hat{BFC}` là góc ngoài $∆ACF$
`=>\hat{BFC}= \hat{CAF}+\hat{ACF}` $(1)$
$\\$
`Az` là tia phân giác của `\hat{xAy}` (gt)
`=>\hat{xAy}=2\hat{xAz}`
Vì `\hat{xAy}+\hat{BCD}=180°` (gt)
`=>2\hat{xAz}+\hat{BCF}+\hat{ACF}+\hat{ACD}=180°`
`=>2\hat{CAF}+\hat{BCF}+\hat{ACF}+\hat{ACF}=180°`
`=>2(\hat{CAF}+\hat{ACF})+\hat{BCF}=180°` $(2)$
Từ `(1);(2)=>2\hat{BFC}+\hat{BCF}=180°`
Mà `\hat{BFC}+\hat{FBC}+\hat{BCF}=180°` (tổng $3$ góc trong $1$ tam giác)
`=>2\hat{BFC}=\hat{BFC}+\hat{FBC}`
`=>2\hat{BFC}-\hat{BFC}=\hat{FBC}`
`=>\hat{BFC}=\hat{FBC}`
`=>∆BCF` cân tại $C$
`=>CB=CF`
Mà $CD=CF$ (c/m trên)
`=>CB=CD`
`=>∆BCD` cân tại $C$ (đpcm)
$\\$
+) `TH2: AB<AD` (tương tự `TH1`)
$\\$
Cách 2:
Vẽ $CH\perp Ax$ tại $H$; $CK\perp Ay$ tại $K$
+) `TH1: AB>AD`
Xét $∆AHC$ và $∆AKC$ có:
`\qquad \hat{AHC}=\hat{AKC}=90°`
`\qquad AC` là cạnh chung
`\qquad \hat{CAH}=\hat{CAK}` (do $Az$ là phân giác `\hat{xAy}`)
`=>∆AHC=∆AKC` (ch-gn)
`=>CH=CK` (hai cạnh tương ứng)
$\\$
Vì `\hat{xAy}+\hat{BCD}=180°`
`=>\hat{xAy}+\hat{BCA}+\hat{DCA}=180°` $(1)$
$\\$
$∆ACH$ vuông tại $H$
`=>\hat{CAH}+\hat{HCA}=90°` (hai góc phụ nhau)
$∆ACK$ vuông tại $K$
`=>\hat{CAK}+\hat{KCA}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{CAH}+\hat{CAK}+\hat{HCA}+\hat{KCA}=90°+90°=180°`
`=>\hat{xAy}+\hat{HCA}+\hat{KCA}=180°` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{BCA}+\hat{DCA}=\hat{HCA}+\hat{KCA}`
`=>\hat{BCH}+\hat{HCA}+\hat{DCA}=\hat{HCA}+\hat{DCA}+\hat{DCK}`
`=>\hat{BCH}=\hat{DCK}`
$\\$
Xét $∆BCH$ và $∆DCK$ có:
`\qquad \hat{BHC}=\hat{DKC}=90°`
`\qquad CH=CK` (c/m trên)
`\qquad \hat{BCH}=\hat{DCK}`(c/m trên)
`=>∆BCH=∆DCK` (g-c-g)
`=>BC=DC` (hai cạnh tương ứng)
`=>∆BCD` cân tại $C$ (đpcm)
$\\$
+) `TH2: AB<AD` (tương tự $TH1$)
