a,
$\overrightarrow{BC}= (2;2)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n}= (-2;2)$
$BC: -2(x-4)+2(y-1)=0$
$\Leftrightarrow x-y-3=0$
Gọi $H(x;x-3)$ là hình chiếu của A trên BC
$\overrightarrow{AH}= (x-1; x-7)$
Ta có $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{n}$ cùng phương vì cùng vuông góc BC
$\Rightarrow \frac{x-1}{-2}= \frac{x-7}{2}$
$\Leftrightarrow -2x+14= 2x-2 $
$\Leftrightarrow x=4$
Vậy $\overrightarrow{AH}= (3;-3)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n}=(3;3)$
$AH: 3(x-1)+3(y-4)=0$
$\Leftrightarrow x+y-5=0$
b,
M là trung điểm AC
$\Rightarrow M(\frac{7}{2}; \frac{7}{2})$
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}= (\frac{5}{2}; -\frac{1}{2})$
$\Rightarrow \overrightarrow{n}=(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$
$AM: \frac{1}{2}(x-1)+ \frac{5}{2}(y-4)=0$
$\Leftrightarrow x+5y-21=0$
c,
Trung trực của AC vuông góc AC và đi qua M, nhận $\overrightarrow{AC}$ làm vectơ pháp tuyến.
$\overrightarrow{AC}= (5;-1)$
$\Delta: 5(x-\frac{7}{2})-1(y-\frac{7}{2})=0$
$\Leftrightarrow 5x-y-14=0$