Giải sử 13 số đã cho lần lượt là: \({a_1};{a_2};{a_3};...;{a_{12}};{a_{13}}\)
a) Ta xét 13 tổng sau:
\({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} > 0\)
\({a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} > 0\)
\({a_3} + {a_4} + {a_5} + {a_6} > 0\)
…..
\({a_{13}} + {a_1} + {a_2} + {a_3} > 0\)
Cộng các bất đằng thức trên vế theo vế ta được: \(4({a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{13}}) > 0\)
\( \Rightarrow {a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{13}} > 0\)
Vậy tổng của 13 số đã cho là một số dương.
b) Xét 13 tích sau: \({a_1}.{a_2}.{a_3} < 0,\,{a_2}.{a_3}.{a_4} < 0,\,...,{a_{13}}.{a_1}.{a_2} < 0\)
Suy ra: \({({a_1}.{a_2}.{a_3}-{a_{13}})^3} < 0 \Rightarrow {a_1}.{a_2}.{a_3}-{a_{13}} < 0\)
Tách riêng một số từ tích 13 số nói trên, 12 số còn lại chia thành 4 nhóm ba số ta có:
\(({a_1}.{a_2}.{a_3}).({a_4}.{a_5}.{a_6}).({a_7}.{a_8}.{a_9}).({a_{10}}.{a_{11}}.{a_{12}}).{a_{13}} < 0\)
Ta thấy tích mỗi nhóm ba số là một số âm nên tích của 4 nhóm như vậy là số dương suy ra số được tách riêng ra là một số âm.
Tương tự cho 13 số và ta được 13 số đã cho đều là số âm.
