Xét các số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \({\log _3}\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + y.\)A.\({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{3}\)B.\({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 + 4}}{3}\)C.\({P

vanbinhlitin

1 năm trước

Xét các số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \({\log _3}\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + y.\)
A.\({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{3}\)
B.\({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 + 4}}{3}\)
C.\({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 + 4}}{9}\)
D.\({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{9}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 7 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

roshanjasmine1102

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:ĐK: \(\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} > 0 \Rightarrow y < 1\)\(\left( {x;y > 0} \right)\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _3}\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) - {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) = x + 3xy + 3\left( {y - 1} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) + \left( {x + 3xy} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\dfrac{{\left( {x + 3xy} \right)}}{3} + \left( {x + 3xy} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + 3t\,\,\left( {t > 0} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 3 > 0;\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Kết hợp (*) suy ra \(f\left( {1 - y} \right) = f\left( {\dfrac{{x + 3xy}}{3}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3xy}}{3} = 1 - y\)
\( \Leftrightarrow x + 3xy = 3 - 3y \Leftrightarrow x + 3xy + 3y - 3 = 0\,\,\,\left( {**} \right)\)
Xét \(P = x + y \Rightarrow x = P - y\) thay vào (**) ta được
\(P - y + 3\left( {P - y} \right)y + 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow P\left( {3y + 1} \right) = 3{y^2} - 2y + 3\)
\( \Leftrightarrow P = \dfrac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}\) (vì \(0 < y < 1 \Rightarrow 3y + 1 > 0\))
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(g\left( y \right) = \dfrac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}\) trên \(\left( {0;1} \right)\)
Ta có \(g'\left( y \right) = \dfrac{{\left( {6y - 2} \right)\left( {3y + 1} \right) - 3\left( {3{y^2} - 2y + 3} \right)}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{9{y^2} + 6y - 11}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}}\)
Giải phương trình \(g'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3} \in \left( {0;1} \right)\\y = \dfrac{{ - 1 - 2\sqrt 3 }}{3} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)
Lại có \(g'\left( y \right) < 0\,\,\,\,\forall y \in \left( {0;\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(g'\left( y \right) > 0\,\,\,\,\forall y \in \left( {\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3};1} \right)\)
Hay \(g'\left( y \right)\) đổi dấu từ âm sang dương tại \(y = \dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}\) nên
\(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} g\left( y \right) = g\left( {\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) = \dfrac{{4\sqrt 3 - 4}}{3} \Rightarrow {P_{\min }} = \dfrac{{4\sqrt 3 - 4}}{3}\)
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 1 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f'\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1.\) Giá trị của \({\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2}\) là
A.\(10\)
B.\(8\)
C.\(\frac{5}{2}\)
D.\(\frac{9}{2}\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( P \right)\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt gá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 9a + 3b + 6c.\)
A.\(4\)
B.\(3\)
C.\(2\)
D.\(1\)

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ .\) Xác định góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD.\)
A.\(90^\circ \)
B.\(45^\circ \)
C.\(60^\circ \)
D.\(30^\circ \)

Cho một miếng tôn hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt \(OAB\) và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh \(O\) không có đáy (\(OA\) trùng với \(OB\)). Gọi \(S\) và \(S'\) lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. tìm tỉ số \(\frac{{S'}}{S}\) để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\
B.\(\frac{1}{4}\)
C.\(\frac{1}{3}\)
D.\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Cho các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = 2\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w = \left( {1 + i\sqrt 8 } \right)z + i\) là một đường tròn. Bán kính \(r\) của đường tròn đó là
A.\(9\)
B.\(36\)
C.\(6\)
D.\(3\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\log ^2}\left| {\cos x} \right| - m\log {\cos ^2}x - {m^2} + 4 = 0\) vô nghiệm
A.\(m \in \left( {\sqrt 2 ;2} \right)\)
B.\(m \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
C.\(m \in \left( { - \sqrt 2 ;2} \right)\)
D.\(m \in \left( { - 2;\sqrt 2 } \right)\)

Cho hình phẳng giói hạn bởi các đường \(y = \sqrt {\tan x} ;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi }{4}\) quay xung quanh trục \(Ox.\) Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.
A.\(\frac{{\pi \ln 2}}{2}\)
B.\(\frac{{\pi \ln 3}}{4}\)
C.\(\frac{\pi }{4}\)
D.\(\pi \ln 2\)

Trong mặt phẳng \(Oxy,\) gọi \(A,B,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1} = - 3i;{z_2} = 2 - 2i;{z_3} = - 5 - i.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Khi đó điểm \(G\) biểu diễn số phức là
A.\(z = - 1 - i\)
B.\(z = - 1 - 2i\)
C.\(z = 1 - 2i\)
D. \(z = 2 - i\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({2^x}{.5^{{x^2} - 2x}} = 1\). Khi đó tổng \({x_1} + {x_2}\) bằng
A.\(2 - {\log _5}2\)
B.\( - 2 + {\log _5}2\)
C. \(2 + {\log _5}2\)
D.\(2 - {\log _2}5\)

Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\) là
A.\(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\)
B.\(S = \left[ {64; + \infty } \right)\)
C.\(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {64; + \infty } \right)\)
D.\(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến