Xét các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 6x + 4y\) bằng:A.\(\dfrac{{65}}{8}\)B.\(\dfrac{{33}}{4}\)C.\(\dfrac{{49}}{8}\)D.\(\dfrac{{57}}{8}\)

ducfcvn

2 năm trước

Xét các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 6x + 4y\) bằng:
A.\(\dfrac{{65}}{8}\)
B.\(\dfrac{{33}}{4}\)
C.\(\dfrac{{49}}{8}\)
D.\(\dfrac{{57}}{8}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 19 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

uyenchipchip

Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả 2 vế của bất phương trình và xét hàm đặc trưng.
Giải chi tiết:Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế của bất phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\\ \Leftrightarrow y{.4^{x + y - 1}} \ge 3 - 2x\\ \Leftrightarrow {\log _2}y + \left( {x + y - 1} \right){\log _2}4 \ge {\log _2}\left( {3 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}y + 2\left( {x + y - 1} \right) \ge {\log _2}\left( {3 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + {\log _2}y + 2x + 2y - 3 \ge {\log _2}\left( {3 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}2y + 2y \ge {\log _2}\left( {3 - 2x} \right) + 3 - 2x\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Lại có \(f\left( {2y} \right) \ge f\left( {3 - 2x} \right)\) \( \Rightarrow 2y \ge 3 - 2x\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}P = {x^2} + {y^2} + 6x + 4y\\P \ge {x^2} + {\left( {\dfrac{{3 - 2x}}{2}} \right)^2} + 6x + 2\left( {3 - 2x} \right)\\P \ge {x^2} + \dfrac{{4{x^2} - 12x + 9}}{4} + 6x + 6 - 4x\\ \Leftrightarrow P \ge 2{x^2} - x + \dfrac{{33}}{4}\end{array}\)
Ta có: \(3 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2{x^2} - x + \dfrac{{33}}{4}\) với \(x < \dfrac{3}{2}\), hàm số đạt GTNN tại \(x = \dfrac{1}{4}\), khi đó ta có \(g\left( x \right) \ge g\left( {\dfrac{1}{4}} \right)\,\,\forall x < \dfrac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge \dfrac{{65}}{8}\).
\( \Rightarrow P \ge \dfrac{{65}}{8}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\).
Vậy \({P_{\min }} = \dfrac{{65}}{8}\).
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\), xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng:
A.\(\dfrac{{17}}{{42}}\)
B.\(\dfrac{{41}}{{126}}\)
C.\(\dfrac{{31}}{{126}}\)
D.\(\dfrac{5}{{21}}\)

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(AA' = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng:
A.\(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
B.\(\dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5}\)
C.\(\dfrac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt {57} a}}{{19}}\)

Em hiểu như thế nào về cụm từ “tính cộng đồng” mà tác giả nêu lên trong văn bản trên.
A.
B.
C.
D.

Nung hỗn hợp khí A gồm 0,1 mol N2; 0,45 mol H2 trong điều kiện thích hợp thu được hỗn hợp B có dA/B = 10/11. Hiệu suất phản ứng là
A.10%
B.15%
C.20%
D.25%

Cho 2a mol N2 và 3a mol H2 vào bình kín nung nóng với điều kiện thích hợp thu được V lít NH3 (đktc) biết hiệu suất phản ứng là 35%. Mối liên hệ giữa V và a là:
A.V = 33,60a.
B.V = 20,16a.
C.V = 26,88a.
D.V = 47,04a.

Câu Thương bèn rủ các bạn lội xuống bãi bồi, lấy phù sa nhão đắp che kín những cái rẽ cây bị trơ ra. thuộc kiểu câu kể gì?
A.
B.A. Ai là gì?
C.B. Ai làm gì?
D.C. Ai thế nào?

Đặt vào hai đầu tụ một hiệu điện thế \(10V\) thì tụ tích được một điện lượng \({20.10^{ - 9}}C\). Điện dung của tụ là
A.\(2F\)
B.\(2mF\)
C.\(2nF\)
D.\(2\mu F\)

Chỉ ra phương thức biểu đạt chính của văn bản.
A.
B.
C.
D.

Theo tác giả nguyên nhân nào khiến người Việt ít có tính cộng đồng
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến