Đáp án:
1)$S = \left\{ {\left( {0;\dfrac{{ - 1}}{5}} \right);\left( { - 2;\dfrac{{ - 1}}{5}} \right)} \right\}$
2)
a) Với $m=2$, đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
b) $m = \pm \sqrt {7} $
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
1)\left\{ \begin{array}{l}
2\left| {x + 1} \right| - 5y = 3\\
\left| {x + 1} \right| + 2y = \dfrac{3}{5}
\end{array} \right.\left( {\text{Hệ phương trình bậc nhất đối với |x+1| và y}} \right)\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {x + 1} \right| = 1\\
y = \dfrac{{ - 1}}{5}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 1\\
x + 1 = - 1
\end{array} \right.\\
y = \dfrac{{ - 1}}{5}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0;y = \dfrac{{ - 1}}{5}\\
x = - 2;y = \dfrac{{ - 1}}{5}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy hệ có tập nghiệm là: $S = \left\{ {\left( {0;\dfrac{{ - 1}}{5}} \right);\left( { - 2;\dfrac{{ - 1}}{5}} \right)} \right\}$
2) Ta có:
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P):y=x^2$ với đường thẳng $(d):y=2x+m^2+1$ là:
$\begin{array}{l}
{x^2} = 2x + {m^2} + 1\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} - 1 = 0(1)
\end{array}$
a) Với $m=2$ phương trình $(1)$ trở thành:
$\begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 6 \\
x = 1 - \sqrt 6
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy với $m=2$ đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Ta có:
Phương trình $(1)$ có:$a.c = 1.\left( { - {m^2} - 1} \right) = - {m^2} - 1 < 0,\forall m$
$\to $ Phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm $x_A;x_B$ phân biệt
Khi đó:
Theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = 2\\
{x_A}{x_B} = - {m^2} - 1
\end{array} \right.$
Để khoảng cách từ $A$ đến $Oy$ bằng $2$ lần khoảng cách từ điểm $B$ đến $Oy$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left| {{x_A}} \right| = 2\left| {{x_B}} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_A} = 2{x_B}\\
{x_A} = - 2{x_B}
\end{array} \right.
\end{array}$
$\begin{array}{l}
TH1:{x_A} = 2{x_B}\\
\Rightarrow {x_A} = \dfrac{4}{3};{x_B} = \dfrac{2}{3}\\
\Rightarrow {x_A}{x_B} = \dfrac{8}{9}\\
\Leftrightarrow - {m^2} - 1 = \dfrac{8}{9}\left( {vn} \right)\\
TH2:{x_A} = - 2{x_B}\\
\Rightarrow {x_A} = 4;{x_B} = - 2\\
\Rightarrow {x_A}{x_B} = - 8\\
\Leftrightarrow - {m^2} - 1 = - 8\\
\Leftrightarrow {m^2} = 7\\
\Leftrightarrow m = \pm \sqrt {7}
\end{array}$
Vậy $m = \pm \sqrt {7} $ thỏa mãn đề
