`a)` $E$ là trung điểm $AM$
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong $∆$ vuông vào $∆AEM$ và $∆ADM$
`=>IE=ID=1/ 2 AM` $(1)$
$\\$
$∆ABC$ đều có $AD$ là đường cao nên cũng là phân giác
`=>\hat{BAD}=\hat{CAD}=1/ 2 \hat{BAC}=30°`
Áp dụng tính chất góc ngoài $∆$
`=>\hat{EIM}=\hat{IEA}+\hat{IAE}=2\hat{IAE}` (hai góc bằng nhau do $∆$ cân suy ra từ trung tuyến $∆$ vuông)
Tương tự:
`\qquad \hat{DIM}=2\hat{IAD}`
`=>\hat{EID}=\hat{EIM}+\hat{DIM}=60°` $(2)$
Từ `(1);(2)=>∆DEI` đều
$\\$
`b)` Tương tự chứng minh được: `ID=IF=1/ 2 AM`
`=>∆IDF` cân tại $I$
Áp dụng tính chất góc ngoài của $∆$
`=>\hat{MID}=2\hat{IAD}`
`\qquad \hat{MIF}=2\hat{IAF}`
`=>\hat{DIF}=\hat{MIF}-\hat{MID}=2\hat{CAD}=60°`
`=>∆IDF` đều
`=>ID=IF=DF`
Kết hợp câu `a` chứng minh được:
`\qquad IE=DE=IF=DF`
`=>EIFD` là hình thoi
$\\$
`c)` `EIFD` là hình thoi có `{K}=EF∩DI`
`=>K` là trung điểm $EF$ và $DI$
$\\$
$∆ABC$ đều có $H$ là trực tâm đồng thời là trọng tâm
Gọi $P$ là trung điểm $AH$
`=>AP=PH=HD`
Áp dụng tính chất đường trung bình trong $∆$ chứng minh được:
$\quad \begin{cases}IP//KH\\IP//MH\end{cases}$
`=>M;K;H` thẳng hàng (tiên đề Ơclit)
