Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + my + \left( {2m + 1} \right)z - \left( {2 + m} \right) = 0,\) với \(m\) là tham số. Gọi điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên \(\left( P \right).\) Tính \(a + b\) khi khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất.
A.\(a + b = - \dfrac{1}{2}.\)
B.\(a + b = 2.\)
C.\(a + b = 0.\)
D.\(a + b = \dfrac{3}{2}.\)

Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\) đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,\)\(AB = BC = a,A{\rm{D}} = 2a.\) Biết \(SA\) vuông góc với đáy \(\left( {ABC{\rm{D}}} \right),SA = a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SB,C{\rm{D}}.\) Tính sin góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right).\)
A.\(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\)
B.\(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt {55} }}{{10}}\)

Có 2 học sinh lớp \(A,\) \(3\) học sinh lớp \(B\) và \(4\) học sinh lớp \(C\) xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp \(A\) không có học sinh lớp \(B.\) Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
A.\(80640.\)
B.\(108864.\)
C.\(145152.\)
D.\(217728.\)

Cho hai số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 3 - 2i} \right| \le 1\\\left| {w + 1 + 2i} \right| \le \left| {w - 2 - i} \right|\end{array} \right..\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \left| {z - w} \right|.\)
A.\({P_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt 2 - 2}}{2}.\)
B.\({P_{\min }} = \sqrt 2 + 1.\)
C.\({P_{\min }} = \dfrac{{5\sqrt 2 - 2}}{2}.\)
D.\({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt 2 + 1}}{2}.\)

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = AB = a,BC = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\)
A.\(\dfrac{{12\pi {a^2}}}{7}\)
B.\(\dfrac{{4\pi {a^2}}}{7}\)
C.\(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{7}\)
D.\(\dfrac{{15\pi {a^2}}}{7}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) và có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ. Hỏi phương trình \(\left| {f\left( x \right) - 1} \right| = 1\) có bao nhiêu nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\)?
A.\(3\).
B.\(4\).
C.\(5\).
D.\(6\).

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {10 - {2^x}} \right) + x = 4\), giá trị của \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:
A.60
B.68
C.10
D.4

Biết điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) biểu diễn cho số phức \(\overline z \), tìm \(z\)?
A.\(z = 2 - i\)
B.\(z = 2 + i\)
C.\(z = 1 + 2i\)
D.\(z = 1 - 2i\)

Tính thể tích của khối cầu có bán kính bằng 1:
A.\(4\pi \)
B.\(16\pi \)
C.\(2\pi \)
D.\(\dfrac{4}{3}\pi \)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\). Gọi \(A,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên các trục tọa độ. Phương trình mp \(\left( {ABC} \right)\) là:
A.\(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{3} = 0\)
B.\(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{3} = - 1\)
C.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{3} = 0\)
D.\(6x + 2y + 2z - 6 = 0\)