Giải thích các bước giải:

 Phương trình đã cho  có 2 nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 1 \ne 0\\
\Delta ' \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right).m \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} + 2m + 1 - {m^2} + m \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
3m + 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge  - \frac{1}{3}\\
m \ne 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Khi đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \frac{m}{{m - 1}}
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \ge 2\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \ge 4\\
 \Leftrightarrow {x_2}^2 - 2.{x_1}.{x_2} + {x_2}^2 \ge 4\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \ge 4\\
 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m - 1}}} \right)^2} - 4.\frac{m}{{m - 1}} \ge 4\\
 \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right)^2} - 4.\frac{m}{{m - 1}} \ge 4\\
 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right)^2} - \frac{m}{{m - 1}} \ge 1\\
 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - m\left( {m - 1} \right)}}{{m - 1}} \ge 1\\
 \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 2m + 1 - {m^2} + m}}{{m - 1}} - 1 \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{3m + 1 - \left( {m - 1} \right)}}{{m - 1}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{2m + 2}}{{m - 1}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m \le  - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Kết hợp ĐK (*) ta được \(m > 1\)

Do đó, không có giá trị lớn nhất của m thỏa mãn.