Đáp án:
1,$2^{x}$+3= $y^{2}$
với x=0⇒y=2 (do y∈N)
VỚI X=1⇒y²=5⇒không có nghiệm y thỏa mãn
với x>1⇒$2^{x}$ +3 lẻ⇒y² lẻ⇒y lẻ
đặt y=2k+1(k∈N)
khi đó $2^{x}$+2= $(2k+1)^{2}$ -1=4k(k+1) ⇔$2^{x-1}$+1=2k(4k+1)
do $2^{x-1}$+1 lẻ ⇒2k(4k+1)lẻ ⇒không có nghiệm tm
vậy x=0,y=2
2,$2^{x}$+57= $y^{2}$
nếu x lẻ ⇒$2^{x}$ ≡2(mod3)⇒$2^{x}$+57 ≡2(mod3)⇒y²≡2(mod 3) (vô lý)
với x chẵn đặt x=2k (k∈N)
khi đó pt trở thành y²-$2^{2k}$ =57⇔(y-$2^{k}$)(y+ $2^{k}$)=57
do k,x,y∈N nên y-$2^{k}$<y+ $2^{k}$
khi đó ta có các TH :
TH1:$\left \{ {{y-2^{k} =1} \atop {y+2^{k} =59}} \right.$ ⇒y=29⇒$2^{k}$ =28(loại )
TH2:$\left \{ {{y-2^{k}=3} \atop {y+2^{k}=19}} \right.$ ⇒y=11⇒k=3⇒x=6
Vậy x=6,y=11
