Đáp án:

c. Hàm số đồng biến trên (-∞;1)

Hàm số nghịch biến trên (1;+∞)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
c.y' = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  - \left( {2x - 1} \right).\dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}.\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - x + 1}}\\
 = \dfrac{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 2{x^2} - x + 1}}{{2\sqrt {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^3}} }}\\
 = \dfrac{{ - 3x + 3}}{{2\sqrt {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^3}} }}\\
Do:2\sqrt {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^3}}  > 0\left( {ld} \right)\forall x \in R
\end{array}\)

BBT

x                  -∞                    1                      +∞

y'                              +          0           -

y                            \( \nearrow \)                        \( \searrow \)

KL: Hàm số đồng biến trên (-∞;1)

Hàm số nghịch biến trên (1;+∞)

\(\begin{array}{l}
d.y' = \dfrac{{2x\sqrt {{x^2} - 1}  - \left( {2x} \right).\dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }}.{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\\
 = \dfrac{{2x\left( {{x^2} - 1} \right) - {x^3}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}} }}\\
 = \dfrac{{{x^3} - 2}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}} }}
\end{array}\)

BBT

x                -∞                 1                  \(\sqrt[3]{2}\)                   +∞

y'                           +        //         -              0                 +

y                          \( \nearrow \)                      \( \searrow \)                  \( \nearrow \)

\(\begin{array}{l}
f.DK:x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\\
y' = \sqrt {{x^2} - 9}  + x.\left( {2x} \right).\dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} - 9} }}\\
 = \dfrac{{{x^2} - 9 + {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\\
 = \dfrac{{2{x^2} - 9}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\\
Do:\sqrt {{x^2} - 9}  > 0\forall x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\\
Mà:x =  \pm \dfrac{3}{{\sqrt 2 }} \notin \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\\
 \to y' > 0\forall x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)
\end{array}\)

⇒ Hàm số đồng biến trên TXD

\(\begin{array}{l}
h.TXD:x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)\\
y' = \left( {2x - 4} \right).\dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} - 4} }}\\
 = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} }}\\
 = \sqrt {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}} \\
Do:\sqrt {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}}  \ge 0\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)\\
 \to y' \ge 0
\end{array}\)

⇒ Hàm số đồng biến trên TXD