a) Xét $ΔAPC$ và $ΔDBC$ có:
$AC = DC$
$PC = BC$
$\widehat{ACP} = \widehat{DCB} = 90^o$
Do đó $ΔAPC=ΔDBC \, (c.gc.)$
$\Rightarrow AP = BD$ (Hai cạnh tương ứng)
b) Ta có:
$M$ là trung điểm cạnh huyền $AP$
$\Rightarrow MC = MA = MP =\dfrac{1}{2}AP$
$N$ là trung điểm cạnh huyền $BD$$
$\Rightarrow NC= NB = ND = \dfrac{1}{2}BD$
mà $AP = BD$ (câu a)
nên $CM = CN$
c) Ta có:
$MC = MP = \dfrac{1}{2}AP$
$\Rightarrow ΔMCP$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MCP} = \widehat{MPC}$
hay $\widehat{MCP} =\widehat{APC}$ $(1)$
$NC = NB = \dfrac{1}{2}BD$
$\Rightarrow ΔNCB$ cân tại $N$
$\Rightarrow \widehat{NCB} = \widehat{NBC}$
hay $\widehat{NCB} = \widehat{CBD}$ $(2)$
Ta lại có: $\widehat{APC} = \widehat{CBD}$ $(ΔAPC=ΔDBC: \, câu \,\,a)$ $(3)$
Từ $(1)(2)(3) \Rightarrow \widehat{MCP} = \widehat{MCB}$
Ta được:
$\widehat{MCN} = \widehat{MCP} + \widehat{NCD} = \widehat{MCB} + \widehat{NCD} = \widehat{BCD} = 90^o$
$\Rightarrow CM\perp CN$
d) Ta có: $ΔAPC=ΔDBC$ (câu a)
$\Rightarrow \widehat{APC} = \widehat{CBD}$ (Hai góc tương ứng)
Ta được: $\widehat{CBD} + \widehat{PAC}$
$= \widehat{APC} + \widehat{PAC} = 90^o$
Do đó $AP\perp BD$
