1) Xét (O) có:
+ AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm ⇒ OB ⊥ AB ⇒ $\widehat{ABO}=90°$
+ AC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm ⇒ OC ⊥ AC ⇒ $\widehat{ACO}=90°$
Có $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$
Hai điểm B và C cùng nhìn AO dưới một góc vuông
⇒ Hai điểm B và C cùng thuộc đường tròn đường kính AO
2) Xét (O) có:
AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A
B, C là hai tiếp điểm
⇒ AB = AC, AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét ΔABC có: AB = AC (cmt)
⇒ ΔABC cân tại A
Mà AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt)
⇒ AO là trung trực của BC
⇒ AO ⊥ BC
Xét (O) có:
$\widehat{ABH}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BH}$ (góc tạo bới tiếp tuyến AB và dây cung BH)
$\widehat{BKH}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BH}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BH}$)
⇒ $\widehat{ABH}=\widehat{BKH}$ Hay $\widehat{ABH}=\widehat{AKB}$
Xét ΔABH và ΔAKB có:
$\widehat{ABH}=\widehat{AKB}$ (cmt)
$\widehat{BAK}$: góc chung
⇒ ΔABH ~ ΔAKB (g.g)
⇒ $\frac{AB}{AK}=\frac{AH}{AB}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ AB² = AH.AK
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABO vuông tại B ( $\widehat{ABO}=90°$), BE ⊥ AO (AO ⊥ BC) có:
AB² =AE.AO
Mà AB² = AH.AK (cmt)
⇒ AH.AK =AE.AO
