Đáp án:
a.$2016$
b.$\dfrac{66875}{73112}$
Giải thích các bước giải:
a.Tổng tất cả hệ số trong khai triển $f(x)=(x^2+\dfrac{2}{x})^n$ bằng 19683
$\rightarrow f(1)=(1^2+\dfrac{2}{1})^n=19683\rightarrow 3^n=3^9\rightarrow n=9$
Ta có:
$\begin{split}(x^2+\dfrac{2}{x})^9&=\sum_{k=0}^9 C^k_9.(x^2)^k.(\dfrac{2}{x})^{9-k}\\&=\sum_{k=0}^9 2^{9-k}.C^k_9.x^{2k-(9-k)}\\&=\sum_{k=0}^9 2^{9-k}.C^k_9.x^{3k-9}\end{split}$
$\rightarrow $Để $x^6\rightarrow 3k-9=6\rightarrow k=5$
$\rightarrow $Hệ số của $x^6$ là: $2^{9-5}.C^5_9=2016$
b.Số cách chọn 5 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ là: $C^5_{25}+C^5_{15}$
$\rightarrow $Xác suất để 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ là:
$1-\dfrac{C^5_{25}+C^5_{15}}{C^5_{40}}=\dfrac{66875}{73112}$
