Đáp án:
$1)\quad 0 < m < 4$
$2)\quad m < \dfrac95$
$3)\quad -1< m \leqslant 0$
Giải thích các bước giải:
$1)\quad f(x)= x^2 - 2mx + 4m > 0\quad \forall x\in\Bbb R$
$\Leftrightarrow \Delta' < 0$
$\Leftrightarrow m^2 - 4m < 0$
$\Leftrightarrow m(m-4)< 0$
$\Leftrightarrow 0 < m < 4$
$2)\quad f(x)= (2-m)x^2 - 2x + 5> 0\quad \forall x\in \Bbb R$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2 - m > 0\\\Delta' < 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m < 2\\1 - 5(2-m) < 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m < 2\\2 - m > \dfrac15\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m < 2\\m < \dfrac95\end{cases}$
$\Leftrightarrow m < \dfrac95$
$3)\quad mx^2 - 2mx -1 \geqslant 0$ vô nghiệm $(3)$
$+)\quad m = 0$
$(3)\Leftrightarrow - 1 \geqslant 0$ (vô lí)
$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm
$+)\quad m \ne 0$
$(3)\Leftrightarrow mx^2 - 2mx - 1 < 0\quad \forall x\in\Bbb R$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m < 0\\\Delta' < 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m < 0\\m^2 + m < 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m < 0\\-1 < m < 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow -1 < m < 0$
Vậy $ - 1 < m \leqslant 0$
