Giải thích các bước giải:

 a)Ta có:

$A\left( {2;5} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {3;3} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 4} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2} \right)$

Nhận xét: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ không cùng phương

$\to A,B,C$ thẳng hàng.

b) Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:

$G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right) \Rightarrow G\left( {2;3} \right)$

Vậy $G\left( {2;3} \right)$

c) Gọi $I(x;y)$

Khi đó: $A$ là trọng tâm tam giác $IBC$

$\left\{ \begin{array}{l}
x + {x_B} + {x_C} = 3{x_A}\\
y + {y_B} + {y_C} = 3{y_A}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 4 = 6\\
y + 4 = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 6
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;6} \right)$

Vậy $ I\left( {2;6} \right)$

d) Gọi $D(x;y)$

Để $ABCD$ là hình bình hành

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 3 = 1\\
y - 3 = 4
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 7
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow D\left( {4;7} \right)
\end{array}$

Vậy $D\left( {4;7} \right)$

e) Gọi $E(x;y)$

Ta có:

$\overrightarrow {AE}  = \left( {x - 2;y - 5} \right);\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4;2} \right)$

Để $\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {AC} $

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 =  - 4\\
y - 5 = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y = 7
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow E\left( { - 2;7} \right)
\end{array}$

Vậy $E\left( { - 2;7} \right)$

f) Gọi $F(x;0)$

Ta có:

$A,B,F$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AF} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương.

Mà $\overrightarrow {AF}  = \left( {x - 2; - 5} \right);\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 4} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AF}  = \dfrac{5}{4}\overrightarrow {AB}  \Rightarrow x - 2 = \dfrac{{ - 5}}{4} \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}$

$\to F\left( {\dfrac{3}{4};0} \right)$

Vậy $F\left( {\dfrac{3}{4};0} \right)$

g) Gọi $K(0;y)$

Ta có:

$A,C,K$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {AC} $ cùng phương.

Mà $\overrightarrow {AK}  = \left( { - 2;y - 5} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AK}  =  - 2\overrightarrow {AC}  \Rightarrow y - 5 =  - 2\left( { - 2} \right) \Rightarrow y = 9 \Rightarrow K\left( {0;9} \right)$

Vậy $K\left( {0;9} \right)$

h) Gọi $H(x;y)$

Hình $ABHG$ là hình bình hành $ \Leftrightarrow \overrightarrow {GH}  = \overrightarrow {AB} $

Mà $\overrightarrow {AB}  = \left( {-1;-4} \right);\overrightarrow {GH}  = \left( {x - 2;y - 3} \right)$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = -1\\
y - 3 = -4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = -1
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow H\left( {1;-1} \right)
\end{array}$

Vậy $H\left( {1;-1} \right)$

Bạn xem hình