a) Áp dụng định lý $Pythagoras$ trong $ΔABD$ vuông tại $A$ ta được:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 9^2 + 12^2 = 225$
$\Rightarrow BD = \sqrt{225} = 15 \, cm$
Ta được:
$\begin{cases}\sin\widehat{ADB} = \cos\widehat{ABD} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}\\\cos\widehat{ADB} = \sin\widehat{ABD} = \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}\\\tan\widehat{ADB} = \cot\widehat{ABD} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\\\cot\widehat{ADB} = \tan\widehat{ABD} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}\end{cases}$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔABD$ vuông tại $A$ đường cao $AO$ ta được:
$+)\quad AO.BD = AB.AD$
$\Rightarrow AO = \dfrac{AB.AD}{BD} = \dfrac{9.12}{15} = \dfrac{36}{5} \, cm$
$+) AD^2 = DO.BD$
$\Rightarrow DO = \dfrac{AD^2}{BD} = \dfrac{12^2}{15} = \dfrac{48}{5} \, cm$
Ta có: $\widehat{H} = \widehat{A} = \widehat{D} = 90^o$
$\Rightarrow ABHD$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow DH = AB = 9\, cm$
Kẻ $OK\perp CD$
$\Rightarrow OK//AD$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{OK}{AD} = \dfrac{CO}{AC}$
$\Rightarrow OK = \dfrac{CO.AD}{AC}$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔADC$ vuông tại $D$ đường cao $DO$ ta được:
$+) \quad AD^2 = AO.AC$
$\Rightarrow AC = \dfrac{AD^2}{AO} = \dfrac{12^2}{\dfrac{36}{5}} = 20\, cm$
$+) \quad AC = AO + CO$
$\Rightarrow CO = AC - AO = 20 - \dfrac{36}{5} = \dfrac{64}{5} \, cm$
Ta được:
$OK = \dfrac{\dfrac{64}{5}.12}{20} = \dfrac{128}{25} \ ,cm$
$\Rightarrow S_{DOH} = \dfrac{1}{2}DH.OK = \dfrac{1}{2}.9.\dfrac{128}{25} = \dfrac{576}{25}\, cm^2$
b) Từ $B$ kẻ $BM//AC$ cắt $CD$ tại $M$
$\Rightarrow AB//CM\, (AB//CD)$
$\Rightarrow ABMC$ là hình bình hành
$\Rightarrow AB = CM$
Mặt khác:
$BM\perp BD \, (BD\perp AC)$
$\Rightarrow ΔMBD$ vuông tại $B$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔMBD$ vuông tại $B$ đường cao $BH$ ta được:
$BH^2 = BH.HM = AB.(HC + CM) = AB(HC + AB) = AB(HC + DH) = AD.CD$
