$x^2-4(m+1)x+4m^2-2m-1=0(1)$
a,Thay $m=2$ vào pt (1) :
$$x^2-4(2+1)x+4.2^2-2.2-1=0 \\⇔x^2-12x+11=0(*) \\a+b+c=1-12+11=0$$
⇒pt (*) có 2 nghiệm phân biệt :
$x_1=1;x_2=11$
vậy với m=2 thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=1;x_2=11$
b,$x^2-4(m+1)x+4m^2-2m-1=0(1)$
có : a=1;b=-4(m+1);c=4m^2-2m-1;b'=-2(m+1)
Δ'=[-2(m+1)]^2-1(4m^2-2m-1)=4(m^2+2m+1)-4m^2+2m+1=4m^2+8m+4-4m^2+2m+1=10m+5
Để pt (1) có 2 nghiệm $x_1;x_2$ thì
$Δ'≥0⇔10m+5≥0⇔m≥\dfrac{-5}{10}$
Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét :
$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=4(m+1) & \\ x_1x_2=4m^2-2m-1 & \end{matrix}\right.$
Ta có :
$x_1+2x_2+x_1x_2=4m^2+3 \\⇔x_1+x_2+x_1x_2+x_2=4m^2+3 \\⇔4(m+1)+4m^2-2m-1+x_2=4m^2+3 \\⇔4m+4+4m^2-2m-1+x_2-4m^2-3=0 \\⇔2m+x_2=0 \\⇔x_2=-2m \\x_1+x_2=4(m+1) \\⇔x_1-2m=4m+4 \\⇔x_1=6m+4 \\x_1x_2=4m^2-2m-1 \\⇔(6m+4)(-2m)=4m^2-2m-1 \\⇔-12m^2-8m=4m^2-2m-1 \\⇔16m^2+6m-1=0(2) \\Có :\ a=16 ; b'=3;c=-1 \\Δ'=3^2-16(-1)=25>0 \\⇒\sqrt{Δ'}=\sqrt{25}=5$
Vì $Δ'>0⇒$pt (2) có 2 nghiệm phân biệt
$m_1=\dfrac{-3+5}{16}=\dfrac{1}{8}(TMĐK)$
$m_2=\dfrac{-3-5}{16}=\dfrac{-1}{2}TMĐK)$
Vậy với $m=\dfrac{1}{8}$ hoặc $m=\dfrac{-1}{2}$ thì pt (1) có 2 nghệm $x_1 ; x_2$ thoả mãn $x_1+2x_2+x_1x_2=4m^2+3$
