Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
Phân tích các phương trình đã cho thành các hằng đẳng thức. Biến đổi các phương trình, đưa về 1 phương trình tích rồi giải hệ phương trình.
Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 4x + 2y = 3\\{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 13\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 4 + {y^2} + 2y + 1 = 8\\{x^2} - 4xy + 4{y^2} + 3{y^2} + 6y + 3 = 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\,\,\,\,\,\, & \left( 1 \right)\\{\left( {x - 2y} \right)^2} + 3{\left( {y + 1} \right)^2} = 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left( {x + 2} \right)^2} + 2{\left( {y + 1} \right)^2} = 16\\{\left( {x - 2y} \right)^2} + 3{\left( {y + 1} \right)^2} = 16\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2{\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2y} \right)^2} - {\left( {y + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2y} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {y + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2 + x - 2y} \right)\left( {x + 2 - x + 2y} \right) + \left( {x + 2 + y + 1} \right)\left( {x + 2 - y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 2y + 2} \right)\left( {2y + 2} \right) + \left( {x + y + 3} \right)\left( {x - y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y + 1} \right)\left( {4y + 4} \right) + \left( {x + y + 3} \right)\left( {x - y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y + 1} \right)\left( {x + 5y + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + 5y + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y - 1 & \left( 2 \right)\\x =  - 5y - 7 & \left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {y - 1 + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow 2{\left( {y + 1} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y + 1 = 2\\y + 1 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1 \Rightarrow x = 0\\y =  - 3 \Rightarrow x =  - 4\end{array} \right.\end{array}\)
Thay \(\left( 3 \right)\)vào (1) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( { - 5y - 7 + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow {\left( {5y + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow 26{\left( {y + 1} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{4}{{13}}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y + 1 = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\\y + 1 =  - \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{{2\sqrt {13}  - 13}}{{13}} \Rightarrow x = \frac{{ - 26 - 10\sqrt {13} }}{{13}}\\y = \frac{{ - 2\sqrt {13}  - 13}}{{13}} \Rightarrow x = \frac{{ - 26 + 10\sqrt {13} }}{{13}}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
\(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {0;1} \right);\left( { - 4; - 3} \right);\left( {\frac{{ - 26 - 10\sqrt {13} }}{{13}};\,\,\frac{{2\sqrt {13}  - 13}}{{13}}} \right);\left( {\frac{{ - 26 + 10\sqrt {13} }}{{13}};\,\frac{{ - 2\sqrt {13}  - 13}}{{13}}} \right)} \right\}.\)
Chọn D.