Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Đưa phương trình thứ nhất về phương trình tích, sau đó thế vào phương trình thứ haiGiải chi tiết:Điều kiện xác định: \(x \ge  - 1,x \ne 2\). Ta có:\({x^3} - xy + 2{x^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2(ktm)\\y = {x^2}\end{array} \right.\)Thay \(y = {x^2}\)vào phương trình \(\frac{{\left( {x + y - 2} \right)\sqrt {x + 1} }}{{x - 2}} = y\left( {x - 5} \right) + 9x - 5,\)ta được phương trình : \(\frac{{\left( {x + {x^2} - 2} \right)\sqrt {x + 1} }}{{x - 2}} = {x^2}\left( {x - 5} \right) + 9x - 5\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)\sqrt {x + 1} }}{{x - 2}} = {x^3} - 5{x^2} + 9x - 5\,\,\left( 1 \right)\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 1}  = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 1}  - \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 1}  - \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0 & (2)\end{array} \right.\end{array}\)\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3} + \sqrt {x + 1}  = {\left( {x - 2} \right)^3} + \left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\sqrt {x + 1}  - \left( {x - 2} \right)} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^2} + \left( {x - 2} \right)\sqrt {x + 1}  + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1}  = x - 2 &  &  &  &  & (3)\\{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} + \left( {x - 2} \right)\sqrt {x + 1}  + {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 = 0 & \left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)Vì \({\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} + \left( {x - 2} \right)\sqrt {x + 1}  + {\left( {x - 2} \right)^2} + 1\)\( = {\left[ {\sqrt {x + 1}  + \frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)} \right]^2} + \frac{{3{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{4} + 1 > 0,\forall x \ge  - 1\) nên (4) vô nghiệm\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x + 1 = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 5x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}\\x = \frac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}(tm)\\x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow y = \frac{{19 + 5\sqrt {13} }}{2}\end{array}\)Vậy hệ phương trình có tập nghiệm \(\left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {\frac{{5 + \sqrt {13} }}{2};\frac{{19 + 5\sqrt {13} }}{2}} \right)} \right\}\)