Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Điều kiện:
\(\begin{array}{l}{x^2} + 2y + 1 \ge 0.\\\left\{ \begin{array}{l}3{y^2} + 1 + 2y\left( {x + 1} \right) = 4y\sqrt {{x^2} + 2y + 1} \,\,\,\left( 1 \right)\\y\left( {y - x} \right) = 3 - 3y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình (2) tương đương với \({y^2} - xy = 3 - 3y \Leftrightarrow xy = {y^2} + 3y - 3\)
Phương trình (1) tương đương:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,4{y^2} - {y^2} + 1 + 2xy + 2y = 4y\sqrt {{x^2} + 2y + 1} \\\Leftrightarrow 4{y^2} - 4y\sqrt {{x^2} + 2y + 1} + {x^2} + 2y + 1 = {x^2} - 2xy + {y^2}\\\Leftrightarrow {\left( {2y - \sqrt {{x^2} + 2y + 1} } \right)^2} = {\left( {x - y} \right)^2}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y - \sqrt {{x^2} + 2y + 1} = x - y\\2y - \sqrt {{x^2} + 2y + 1} = - x + y\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2y + 1} = 3y - x\\\sqrt {{x^2} + 2y + 1} = x + y\end{array} \right.\end{array}\)
TH1: \(\sqrt {{x^2} + 2y + 1} = 3y - x\). Bình phương hai vế phương trình ta được:
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y \ge x\\{x^2} + 2y + 1 = 9{y^2} - 6xy + {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y \ge x\\6xy = 9{y^2} - 2y - 1\\xy = {y^2} + 3y - 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y \ge x\\xy = {y^2} + 3y - 3\\3{y^2} - 20y + 17 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y \ge x\\xy = {y^2} + 3y - 3\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = \frac{{17}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{415}}{{51}};y = \frac{{17}}{3}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH2: \(\sqrt {{x^2} + 2y + 1} = x + y\). Bình phương hai vế phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\{x^2} + 2y + 1 = {x^2} + 2xy + {y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\2xy = - {y^2} + 2y + 1\\xy = {y^2} + 3y - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\xy = {y^2} + 3y - 3\\ - 3{y^2} - 4y + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\xy = {y^2} + 3y - 3\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - \frac{7}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;\,\,y = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{41}}{{21}};\,\,y = \frac{{ - 7}}{3}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( {\frac{{415}}{{51}};\frac{{17}}{3}} \right)\).
Vậy đáp án đúng là A
